Int´egrales g´en´eralis´ees

Universit ´e de Bordeaux, France

7 octobre 2015

On poseR=R∪ {−∞,+∞}.

On poseR=R∪ {−∞,+∞}. Motivation

Consid ´erons la fonction f(x) = 1

√x d ´efinie sur l’intervalle]0,1].

Pour toutδ∈]0,1], la fonction f est int ´egrable sur[δ,1]; de plus :

δlim→0

Z ₁

δ f(x)dx =2.

On poseR=R∪ {−∞,+∞}. Motivation

Consid ´erons la fonction f(x) = 1

√x d ´efinie sur l’intervalle]0,1].

Pour toutδ∈]0,1], la fonction f est int ´egrable sur[δ,1]; de plus :

δlim→0

Z ₁

δ f(x)dx =2.

Cela nous motive `a d ´efinir Z ₁

0

f(x)dx= lim

δ_→0

Z ₁

δ f(x)dx .

Objectifs de ce cours

1 Etre capable de calculer une int ´egrale g ´en ´eralis ´ee ouˆ

Objectifs de ce cours

1 Etre capable de calculer une int ´egrale g ´en ´eralis ´ee ouˆ

2 Etre capable de dire si une int ´egrale g ´en ´eralis ´ee convergeˆ ou pas.

Soit f une fonction r ´eelle d ´efinie sur un intervalle I.

On dira que f est localement int ´egrable sur I si f est int ´egrable sur chaque intervalle ferm ´e et born ´e[α,β]⊂I.

Soit f une fonction r ´eelle d ´efinie sur un intervalle I.

On dira que f est localement int ´egrable sur I si f est int ´egrable sur chaque intervalle ferm ´e et born ´e[α,β]⊂I.

Proposition

Toute fonction continue sur un intervalle I est localement int ´egrable sur I.

Soit f une fonction r ´eelle d ´efinie sur un intervalle I.

On dira que f est localement int ´egrable sur I si f est int ´egrable sur chaque intervalle ferm ´e et born ´e[α,β]⊂I.

Proposition

Toute fonction continue sur un intervalle I est localement int ´egrable sur I.

Proposition

Toute fonction r ´eelle et monotone sur un intervalle I est localement int ´egrable sur I.

Soit I un intervalle deRd’extr ´emit ´es a<b (a,b∈R) et soit c un r ´eel tel que a<c<b.

Soit f une fonction r ´eelle localement int ´egrable sur I.

Si les limites

αlim_→a

Z c

α f(x)dx et lim

β_→b

Z _β

c

f(x)dx

sont finies, on dira que l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z _b

a

f converge et on posera :

Z _b

a

f(x)dx = lim

α→a

Z _c

α f(x)dx+lim

β→b

Z _β

c

f(x)dx

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

0

e^−xdx converge et est ´egale `a 1.

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

0

e^−xdx converge et est ´egale `a 1.

Preuve

La fonction x7→e^−x est continue sur[0,+∞[et donc localement int ´egrable. Puisque

Z _N

0

e^−xdx=

−e^−xN

0 =1−e^−N −→

N→+∞1 notre affirmation est bien d ´emontr ´ee.

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

1

1

xdx diverge.

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

1

1

xdx diverge.

Preuve

La fonction x7→ ¹_x est continue sur[1,+∞[et donc localement int ´egrable. Puisque

Z _N

1

1

xdx = [ln|x|]^N₁ =ln(N) −→

N→+∞+∞

notre affirmation est bien d ´emontr ´ee.

Th ´eor `eme (Lin ´earit ´e de l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee)

Soient f,g :I−→Rdeux fonctions localement int ´egrables sur un intervalle I d’extr ´emit ´es−∞≤a<b≤+∞. Si les int ´egrales g ´en ´eralis ´ees^R_a^bf et^R_a^bg convergent alors, pour toutλ,µ ∈R, l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee^R_a^b(λf+µg)converge et on a :

Th ´eor `eme (Lin ´earit ´e de l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee)

Soient f,g :I−→Rdeux fonctions localement int ´egrables sur un intervalle I d’extr ´emit ´es−∞≤a<b≤+∞. Si les int ´egrales g ´en ´eralis ´ees^R_a^bf et^R_a^bg convergent alors, pour toutλ,µ ∈R, l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee^R_a^b(λf+µg)converge et on a :

Z b a

(λf+µg) =λ^{Z b}

a

f+µ^{Z b}

a

g.

Th ´eor `eme (Croissance de l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee)

Soient f,g :I−→Rdeux fonctions localement int ´egrables sur un intervalle I d’extr ´emit ´es−∞≤a<b≤+∞. Si les int ´egrales g ´en ´eralis ´ees^R_a^bf et^R_a^bg convergent et f ≤g alors on a :

Th ´eor `eme (Croissance de l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee)

Soient f,g :I−→Rdeux fonctions localement int ´egrables sur un intervalle I d’extr ´emit ´es−∞≤a<b≤+∞. Si les int ´egrales g ´en ´eralis ´ees^R_a^bf et^R_a^bg convergent et f ≤g alors on a :

Z _b

a

f ≤ Z _b

a

g.

Proposition (Int ´egrale de Riemann) L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee

Z +∞ 1

1

x^αdx, α ∈R converge si et seulement siα>1.

Z _N

1

1

x^αdx = 1 1−α

N^1−α−1

N−→→+∞

−1 1−α

Z _N

1

1

x^αdx = 1 1−α

N^1−α−1

N−→→+∞

−1 1−α De la m ˆeme formule on en d ´eduit que siα <1, on a :

Nlim→+∞

Z _N

1

1

x^αdx= +∞.

Z _N

1

1

x^αdx = 1 1−α

N^1−α−1

N−→→+∞

−1 1−α De la m ˆeme formule on en d ´eduit que siα <1, on a :

Nlim→+∞

Z _N

1

1

x^αdx= +∞.

Siα=1, on a : Z _N

1

1

x^αdx =ln(N) −→

N→+∞+∞.

Proposition (Int ´egrale de Riemann) L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee

Z 1 0

1

x^αdx, α∈R converge si et seulement siα<1.

Z 1 N

1

x^αdx= 1 1−α

1−N^1−α

N−→→0⁺

1 1−α

Z 1 N

1

x^αdx= 1 1−α

1−N^1−α

N−→→0⁺

1 1−α De la m ˆeme formule on en d ´eduit que siα >1, on a :

lim

N→0⁺

Z ₁

N

1

x^αdx= +∞.

Z 1 N

1

x^αdx= 1 1−α

1−N^1−α

N−→→0⁺

1 1−α De la m ˆeme formule on en d ´eduit que siα >1, on a :

lim

N→0⁺

Z ₁

N

1

x^αdx= +∞. Siα=1, on a :

Z ₁

N

1

x^αdx =−ln(N) −→

N→0⁺+∞.

Proposition

Pour tout a>1, l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

a

1

x ln^αxdx, α ∈R converge si et seulement siα>1.

Preuve

Pourα6=1, une primitive de la fonction x 7→_{x ln}^1α_x est donn ´ee par la fonction x7→ 1−¹αln^1−αx et siα =1, une primitive de la fonction x7→ x ln x¹ est donn ´ee par la fonction x7→ln(ln x).

Preuve

Pourα6=1, une primitive de la fonction x 7→_{x ln}^1α_x est donn ´ee par la fonction x7→ 1−¹αln^1−αx et siα =1, une primitive de la fonction x7→ x ln x¹ est donn ´ee par la fonction x7→ln(ln x).

A vous de jouer...`

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

0

r^xdx, r >0 converge si et seulement si r<1.

L’int ´egrale diverge si et seulement si r≥1.

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

0

r^xdx, r >0 converge si et seulement si r<1.

L’int ´egrale diverge si et seulement si r≥1.

Exemple

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

0

2

3 x

dx converge.

a

alors on posera :

Z _b

a

f(x)dx= +∞.

a

alors on posera :

Z _b

a

f(x)dx= +∞.

Th ´eor `eme

Soient f,g deux fonctions positives et localement int ´egrables sur[a,b[. Supposons que

f≤g

Alors si l’int ´egrale^R_a^bg converge alors l’int ´egrale^R_a^bf converge aussi ; si l’int ´egrale^R_a^bf diverge alors l’int ´egrale^R_a^bg diverge aussi.

Exemple

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

1

1

x³+3x²+xdx converge.

Exemple

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

1

1

x³+3x²+xdx converge.

Preuve

A vous de jouer...`

Corollaire

Soient f,g deux fonctions positives et localement int ´egrables sur[a,b[. Supposons que la limite

lim

x→b

x<b

f(x) g(x)

existe et est non nulle. Alors les int ´egrales g ´en ´eralis ´ees^R_a^bf et R_b

a g ont la m ˆeme nature.

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee

0 √

xdx converge.

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee

0 √

xdx converge.

Preuve

Nous avons vu que l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z ₁

0

√1

xdx converge.

Or

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee

0 √

xdx converge.

Preuve

Nous avons vu que l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z ₁

0

√1

xdx converge.

Or √e^xx

√1x

=

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee

0 √

xdx converge.

Preuve

Nous avons vu que l’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z ₁

0

√1

xdx converge.

Or √e^xx

√1x

=e^x −→

x→01.

Le corollaire pr ´ec ´edent nous permet de conclure que Z ₁

0

e^x

√xdx converge.

x^αf(x)poss `ede une limite finieℓquand x tend vers+∞, alors :

1

Z +∞ a

f(x)dx diverge si et seulement siα ≤1 etℓ >0.

2

Z +∞ a

f(x)dx converge si et seulement siα>1 etℓ≥0.

3 Sinon nous ne pouvons pas conclure sur la nature de l’int ´egrale.

x^αf(x)poss `ede une limite finieℓquand x tend vers+∞, alors :

1

Z +∞ a

f(x)dx diverge si et seulement siα ≤1 etℓ >0.

2

Z +∞ a

f(x)dx converge si et seulement siα>1 etℓ≥0.

3 Sinon nous ne pouvons pas conclure sur la nature de l’int ´egrale.

Exemples

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

0

x²e^−xdx converge.

L’int ´egrale g ´en ´eralis ´ee Z +∞

1

1

x³+3x²+xdx converge.

a

calculer F on applique les m ´ethodes classiques de calcul d’une int ´egrale. On calcule ensuite lim

x→bF(x).

a

calculer F on applique les m ´ethodes classiques de calcul d’une int ´egrale. On calcule ensuite lim

x→bF(x).

Exemple

Z +∞ 0

e^−xdx =1

a

calculer F on applique les m ´ethodes classiques de calcul d’une int ´egrale. On calcule ensuite lim

x→bF(x).

Exemple

Z +∞ 0

e^−xdx =1 Remarque

Soit F(x) = Z _x

a

f(t)dt.

Le domaine de d ´efinition de F est le domaine de continuit ´e de f qui contient a.

Soient f et g deux fonctions r ´eelles de classeC¹sur un intervalle]a,b[. Supposons que les limites

L= lim

x→a

x>a

f(x)g(x) et M= lim

x→b

x<b

f(x)g(x)

existent (finies). Alors les int ´egrales^R_a^bf(x)g^′(x)dx et Rb

a f^′(x)g(x)dx sont de m ˆeme nature ; quand elles convergent on a alors :

Z _b

a

f(x)g^′(x)dx= (M−L)− Z _b

a

f^′(x)g(x)dx

Exemple

∀n∈N, Z +∞

0

xⁿe^−xdx =n!

Exemple

∀n∈N, Z +∞

0

xⁿe^−xdx =n!

Preuve

A vous de jouer...`

int ´egrale ”classique” s’applique aussi aux int ´egrales g ´en ´eralis ´ees :

int ´egrale ”classique” s’applique aussi aux int ´egrales g ´en ´eralis ´ees :

Th ´eor `eme

Soientϕ:]a,b[−→]α,β[(a,b,α,β∈R)une application bijective de classeC¹. Si f est une fonction localement int ´egrable sur ]α,β[alors la fonction(f◦ϕ)ϕ^′ est aussi localement int ´egrable sur]a,b[.

Les int ´egrales g ´en ´eralis ´ees^R_α^βf et^R_a^b(f◦ϕ)ϕ^′ sont de m ˆeme nature et si elles convergent on a :

Z _β α f=

Z _b

a (f◦ϕ)ϕ^′.

1 Montrer que Z +∞

−∞ e⁻

1 2x 2

dx converge (contre toute attente...

Z +∞

−∞ e⁻

1 2x 2

dx=√ 2π).

2 Montrer que Z +∞

−∞

√1 2πe⁻

1 2x 2

dx= Z +∞

−∞

1 σ√

2πe⁻

1 2(^x−σ^µ)²

dx avecµ∈R⁺etσ∈R⁺

∗.

3 Calculer Z +∞

−∞

√x 2πe⁻

1 2x 2

dx .

4 Calculer Z +∞

−∞

x²

√2πe⁻

1 2x 2

dx− Z +∞

−∞

√x 2πe⁻

1 2x 2

dx 2

.