TD 2 – Int´ egration, int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Math´ematiques 3 TD 2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020

TD 2 – Int´ egration, int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Int´egration sur un segment

Exercice 1. Changements de variable basiques.

Calculer les int´egrales suivantes : 1.

Z 1 0

(2t+ 1)⁷dt, 2.

Z 2 1

1 3udu, 3.

Z π/2 0

e^sinxcosxdx, 4.

Z π/4 0

sint cos²tdt,

5.

Z e 1

ln(x) x dx, 6.

Z ₄

1

e

√x

√xdx, 7.

Z _e

1

1 ulnudu.

Exercice 2. R`egles de Bioche.

Calculer les int´egrales suivantes.

1.

Z ^3π₄

π 4

sin(x) 3 + 2 cos(2x)dx

On pourra faire le changement de variable u= cos(x).

2.

Z ^π

4

0

cos(x) 3 + 2 cos(2x)dx

On pourra faire le changement de variable u= sin(x).

3.

Z ^π

2

π 6

1 sin(t)dt

On pourra faire le changement de variable u= cos(t).

Exercice 3. Primitives.

Donner une primitive des fonctions suivantes, dont on pr´ecisera les domaines de d´efinition : 1. x7→xlnx,

2. t7→ln²t, 3. t7→e^xsinx,

4. x7→sin(t^1/3), 5. x7→√

9−4x², Exercice 4. Limite d’int´egrale.

Soit f une fonction continue sur [0; 1]. Pour tout tout entier natureln, on pose : In=

Z 1 0

xⁿf(x)dx.

Montrer que lim

n→+∞I_n= 0.

Exercice 5. Int´egrale oscillante.

1. Montrer que pour tout a < b, on a lim

n→+∞

Z b a

cos(nx)dx= 0.

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

Math´ematiques 3 TD 2 CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020 2. Montrer que pour tout a < b, et pour toute fonction f continue par morceaux sur [a, b], on a

n→+∞lim Z b

a

f(x) cos(nx)dx= 0.

On pourra commencer par le cas des fonctions en escalier.

Exercice 6. Autour du th´eor`eme fondamental de l’int´egration.

Soit f une fonction continue sur Ret soitGla fonction d´efinie surRpar : G:x7−→ 1

2

Z _x²₊₁

x−1

f(t)dt.

Montrer que la fonctionG est de classe C¹ et calculer sa d´eriv´ee.

Int´egrales g´en´eralis´ees

Exercice 7. Int´egrales convergentes.

Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont elles convergentes ? 1.

Z 1 0

lntdt 2.

Z +∞

0

e^−t2dt 3.

Z +∞

0

tsinte^−tdt 4.

Z +∞

1

arctanx xln(1 +x²)dx 5.

Z 1 0

cos² 1

t

dt

6.

Z +∞

1

e⁻

√ lntdt

7.

Z +∞

1

e⁻

√xdx

8.

Z ₁

0

dt 1−√

t 9.

Z +∞

0

1 +tln t

1 +t

dt 10.

Z +∞

0

e^−t 1

1−e^−t −1 t

dt

Exercice 8. Avec des param`etres.

Discuter, selon la valeur du param`etreα∈R, la convergence des int´egrales suivantes.

1.

Z +∞

0

dt t^α 2.

Z +∞

0

tlnt (1 +t²)^αdt 3.

Z +∞

0

arctant t^α dt

4.

Z +∞

0

t^αln(t+e^αt)dt 5.

Z +∞

2

pt⁴+t²+ 1−tp³ t³+αt

dt

Exercice 9. Convergence absolue.

Etudier la convergence et la convergence absolue de l’int´´ egrale suivante : Z +∞

1

cost t dt.

Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques