MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1
J. LIN [email protected]
TD 8 : Int´egrales
Exercice 1 Calculer les int´ egrales suivantes :
(a) ´
π0
cos xdx (b) ´
10
1
q
1 −
x32dx (c) ´
π/4 01 cos
2x dx (d) ´
10
1
1 + 4x
2dx (e) ´
10
cosh xdx (f) ´
21
1/xdx (g) ´
10
x
α, avec α ∈ R \{−1}dx (h) ´
10
e
xdx (i) ´
10
α
x, avec α > 0dx
Exercice 2 Si f et g sont deux fonctions d´ erivables sur un intervalle [a, b]. On d´ efinit F (x) = ´
xa
f
0(t)g(t)dt + ´
xa
f(t)g
0(t)dt pour x ∈ [a, b].
a. V´ erifier que F
0(x) = (f × g)
0(x) pour tout x ∈ [a, b].
b. Montrer que F (x) − f(x)g(x) est une fonction constante sur [a, b]. Calculer cette constante en prenant x = a.
c. En d´ eduire la formule d’int´ egration par parties : si f et g sont deux fonctions d´ erivables sur un intervalle [a, b], alors
ˆ
b af
0(t)g(t)dt = f (b)g(b) − f(a)g(a) − ˆ
ba
f (t)g
0(t)dt
d. V´ erifier que
ˆ
b ag(t)dt = bg(b) − ag(a) − ˆ
ba
tg
0(t)dt
Exercice 3 Calculer les int´ egrales suivantes :
a) ˆ
21
ln t dt b) ˆ
10
ln(1 + t
2) dt c) ˆ
π0
t sin t dt d)
ˆ
π 0e
tcos t dt e) ˆ
10
arctan(t) 1 + t
2dt
Exercice 4 Calculer les int´ egrales suivantes via un changement de variable ad´ equat :
Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:
http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html
MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1
J. LIN [email protected]
a.
ˆ
e 1dt
t + t(ln t)
2b.
ˆ
e 1dt t √
ln t + 1 c.
ˆ
1 0dt e
t+ 1 d.
ˆ
10
√
1 − t
2dt e.
ˆ
10
t
2√
1 − t
2dt f.
ˆ
21
ln t
√ t dt
Exercice 5 a. Montrer que
ˆ
π/2 0cos t
cos t + sin t dt = ˆ
π/20
sin t
cos t + sin t dt = π 4 .
b. En d´ eduire ˆ
10
√ dt
1 − t
2+ t = π 4 .
Exercice 6
a. Soit f ∈ C ([0, 1] , R ). Etablir ˆ
π0
tf (sin t) dt = π 2
ˆ
π0
f (sin t) dt.
b. Soit n ∈ N . On pose I
n=
ˆ
π0
x sin
2n(x)
sin
2n(x) + cos
2n(x) dx.
On va montrer que I
n= π
2 pour tout n.
(i) Posons
J
n= ˆ
π0
sin
2n(x)
sin
2n(x) + cos
2n(x) dx.
D´ eduire que I
n= J
npour tout n par a.
(ii) Montrer que J
n= ´
π/2−π/2
sin
2n(x)
sin
2n(x) + cos
2n(x) dx.
(iii) Montrer que ´
π/2−π/2
sin
2n(x)
sin
2n(x) + cos
2n(x) dx = ´
π/2−π/2
