1 Exercice: Convergence d’int´ egrales

Magist` ere et Licence de Physique Fondamentale

Math´ ematiques

T.D. n ^◦ 1 Septembre 2009

Rappels Divers

1 Exercice: Convergence d’int´ egrales

1. Etudier la convergence des int´ egrales suivantes:

• R 1 0

dx x

, R +∞

1 dx

x

(a ∈ R ).

• R +∞

0 e ^−ax dx (a ∈ C ).

2. Rappeler les r` egles de comparaison (par ´ equivalence ou pr´ edominance) permettant de d´ eduire la con- vergence ou la divergence de R

x

f (x)dx si l’on a des informations sur la convergence ou la divergence de R

x

g(x)dx.

3. Etudier la convergence des int´ egrales suivantes:

• R +∞

2 dx

xLn(x) , R +∞

1 1 xLn

(x) dx.

• R +∞

0 x ^a−1 e ^−x dx (a ∈ R ).

• R ∞ 0

1−cos(x)

x

dx (a ∈ R ).

• R ∞ 0

dx

x

(1+x

) (a, b ∈ R ).

4. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b] prenant des valeurs complexes. Quelle in´ egalit´ e existe-t-il entre | R b

a f (x)dx| et R b

a |f (x)|dx ?

2 Exercice: Convergence d’int´ egrales

Cet exercice concerne les notions d’int´ egrale absolument convergente et semi-convergente.

Soit f une fonction continue sur [0, +∞[ prenant des valeurs complexes.

1. Si R +∞

0 |f (x)|dx = lim A→+∞ R A

0 |f (x)|dx est finie, que peut-on dire de R +∞

0 f (x)dx = lim A→+∞

R A

0 f(x)dx? Quel nom donne-t-on ` a ce type d’int´ egrale?

2. Si R +∞

0 |f (x)|dx = lim _A→+∞ R A

0 |f (x)|dx = +∞, a-t-on une information sur R +∞

0 f (x)dx = lim _A→+∞

R A

0 f(x)dx ? Quel nom donne-t-on ` a ce type d’int´ egrale (lorsque la limite est finie)?

3. Exemple type d’int´ egrale semi-convergente R ∞ 0

sin(x) x dx:

(a) Montrer que : lim A→+∞ R A 0

sin(x)

x dx = lim A→+∞ R A 0

1−cos(x)

x

dx (limite finie) (b) Montrer que : R A

0

| sin(x)|

x dx ≥ R A 0

1−cos(2x)

2x dx

(c) En d´ eduire: lim _A→+∞ R A 0

1−cos(2x)

2x dx = lim _A→+∞ R A 0

| sin(x)|

x dx = +∞

—2—

3 Exercice: Fonction Gamma

On d´ efinit la fonction Γ dans le plan complexe par : Γ(z) =

Z +∞

0

x ^z−1 e ^−x dx (1)

o` u par d´ efinition x ^z = e ^{z ln(x)} pour z ∈ C et x > 0.

1. Montrer que Γ est d´ efinie pour Re(z) > 0. (En fait Γ est analytique dans cet ouvert).

2. Montrer que:

∀z, Re(z) > 0, Γ(z + 1) = zΓ(z) (2)

3. Calculer Γ(1) et en d´ eduire Γ(n) pour n entier strictement positif.

4. On cherche ` a calculer Γ(1/2).

(a) Montrer que :

Γ(1/2) = Z +∞

−∞

e ^−x

dx (3)

(b) Montrer que :

Γ(1/2) ² = 2π Z +∞

0

re ^−r

dr (4)

(c) En d´ eduire Γ(1/2) (et donc aussi l’int´ egrale de e ^−x

).

4 Exercice: S´ eries Enti` eres

1. Rappeler:

• La d´ efinition d’une s´ erie enti` ere

• La d´ efinition du rayon de convergence R d’une s´ erie enti` ere

• La r´ egle de Cauchy permettant d’´ evaluer R.

• La r´ egle de D’Alembert permettant d’´ evaluer R.

2. D´ eterminer les rayons de convergence des s´ eries enti` eres P

n≥0 a n z ⁿ pour :

• a n = ₂ ^(2n)!n

n!(3n)!

• a n = Γ(α+n)Γ(β+n) Γ(γ+n)n!

Remarque: La fonction f (α, β, γ; z) = P

n≥0 a _n z ⁿ est appel´ ee fonction hyperg´ eom´ etrique et est solution d’une ´ equation diff´ erentielle du second ordre intervenant dans beaucoup de probl` emes physiques.

• a _n = (1 + ⁽⁻¹⁾ _n

) ⁿ

3. D´ eterminer les rayons de convergence de la s´ erie enti` ere P

n

1

n! z ^n! .

—3—

5 Exercice: changement de variable et jacobien (facultatif )

On considre le changement de variable associ´ e aux coordonn´ ees polaires dans le plan:

x = ρ cos(θ) et y = ρ sin(θ) avec ρ ≥ 0 et θ ∈] − π, π] (le changement est bijectif except´ e pour ρ = 0).

1. Exprimer les d´ eriv´ ees partielles _∂ρ ^∂ et _∂θ ^∂ en fonction de _∂x ^∂ et _∂y ^∂ .

2. En d´ eduire le systme inverse, ` a savoir les d´ eriv´ ees partielles _∂x ^∂ et _∂y ^∂ en fonction de _∂ρ ^∂ et _∂θ ^∂ . 3. Calculer le jacobien J = ^D(x,y) _D(ρ,θ) . En d´ eduire l’´ el´ ement de surface ds = dxdy en polaires.

6 Exercice: S´ erie asymptotique (facultatif )

Nous ´ etudions la fonction “exponentielle int´ egrale” d´ efinie pour x > 0 par : Ei(x) =

Z +∞

1

e ^−xt t dt =

Z +∞

x

e ^−t t dt

Nous allons obtenir deux repr´ esentations de cette fonction sous forme de s´ erie, fournissant de bonnes ap- proximations de la fonction soit dans la limite x → 0, soit pour x → ∞.

1. D´ eveloppement pour x → 0.

Montrer que

Ei(x) = − ln x + cste +

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ x ⁿ n.n!

Indication : d´ eriver Ei(x).

2. Discuter le rayon de convergence de la s´ erie.

3. D´ eveloppement pour x → ∞.

Montrer que la fonction Ei peut ˆ etre d´ evelopp´ ee comme : Ei(x) =

1 x − 1

x ² + 2

x ³ + · · · + (−1) ⁿ n!

x ⁿ⁺¹

e ^−x + R n (x) avec R n (x) = (−1) ⁿ⁺¹ (n + 1)! R ∞

x e

t

dt.

Indication : int´ egrer par partie l’int´ egrale.

4. V´ erifier que R n (x) = o( _x

¹ ) lorsque x tend vers +∞.

5. Etudier le rayon de convergence de cette s´ erie. Commenter.