PC-MP Maths Analyse III 2019-2020
TD5 - Convergence domin´ ee et int´ egrales ` a param` etres
Exercice 1.
On d´efinit la fonction fn:R→R par fn(x) = 1
n1[0,n](x).
D´eterminer la limite simple de la suite de fonctions (fn)n≥0. Montrer que la convergence est uniforme.
Que pouvez-vous dire de la suite In =R
Rfn(t)dt?
Exercice 2.
Soit la suite d’int´egrales d´efinies pour n≥0 par In=
Z 1 0
ln(1 +tn)dt 1. Justifier que cette suite est bien d´efinie.
2. Calculer la limite de In lorsque n→+∞.
3. En posant u=tn, donner un ´equivalent de In.
Exercice 3.
Etudier la convergence de la suite d’int´egrale d´efinies pour n≥1 par In =
Z 1 0
dt (1−tn)1/n, et donner sa limite lorsquen →+∞.
Exercice 4.
Soit
In= Z
√n
0
1−t2
n n
dt
1
1. On introduit la fonction fn: [0,+∞[→R telle que
fn(t) =
1−t2 n
n
si 0≤t≤√ n 0 sinon
Exprimerfn `a l’aide d’une fonction caract´eristique, et faire le lien avec In. 2. Montrer que
∀t≥0, fn(t)≤e−t2
3. Calculer la limite de In lorsque n→+∞ sous forme d’une int´egrale.
Exercice 5.
Soit
In= Z +∞
0
sin(nt) t(1 +t2)dt
Apr`es avoir justifier son existence, d´eterminer la limite deIn ainsi qu’un ´equivalent simple lorsque n→+∞.
Exercice 6.
(
Un calcul de P∞ 11 k2
)
1. Etant donn´e k ∈N∗, montrer que Z π/2
0
(t−π)tcos(2kt)dt= π 4k2. 2. Montrer que
n
X
k=1
cos(2kt) = sin(2n+ 1)t 2 sint −1
2. 3. Montrer que si f ∈C1([a, b]), alors il existeC > 0 tel que
Z b a
f(t) sin(nt)dt
≤C/n.
4. En d´eduire que
∞
X
1
1 k2 = π2
6 .
Exercice 7.
Soit f(x, t) = √e−xtt+1. On souhaite d´efinir g par la formule g(x) =
Z +∞
0
f(x, t)dt.
2/4
1. Donner le domaine de d´efinition deg. 2. Montrer que g est continue sur ]0,+∞[.
3. En posant t= ux, cherchez un ´equivalent simple de g(x) lorsquex→0.
4. De mˆeme, cherchez un ´equivalent simple lorsque x→+∞.
Exercice 8.
Soit f(x, t) = ln(x+t1+t22). On souhaite d´efinir g par la formule g(x) =
Z +∞
0
f(x, t)dt.
1. Donner le domaine de d´efinition deg.
2. Montrer que g est continue et C1 sur ]0,+∞[.
3. Montrer que
g0(x) = π 2√
x(√
x+ 1). 4. En posant u= 1t, calculer g(0). En d´eduire g.
Exercice 9.
(
Un calcul de R∞ 0sint
t dt
)
Pourx≥0 on pose F(x) =Z ∞ 0
e−txsint t dt.
1. Montrer que F est bien d´efinie et F(x)→0 quand x→ ∞.
2. Montrer que F ∈C1(]0,∞[) et calculerF0. 3. En d´eduire l’expression deF.
4. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que F ∈C0([0,∞[).
5. En d´eduire que
Z ∞ 0
sint
t dt= π 2.
Exercice 10.
(
Un calcul de R∞0 e−t2dt
)
Pour tout r´eel x, on pose F(x) =Z 1 0
e−x2(1+t2) 1 +t2 dt.
3/4
1. Montrer que F est bien d´efinie et F ∈C1(R).
2. Montrer que F0(x) = −2e−x2Rx
0 e−t2dt.
3. En d´eduire que F(x) + Rx
0 e−t2dt2
ne d´epend pas de x.
4. En d´eduire que
Z ∞ 0
e−t2dt =
√π 2 .
4/4