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TD5 - Convergence domin´ ee et int´ egrales ` a param` etres

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

PC-MP Maths Analyse III 2019-2020

TD5 - Convergence domin´ ee et int´ egrales ` a param` etres

Exercice 1.

On d´efinit la fonction fn:R→R par fn(x) = 1

n1[0,n](x).

D´eterminer la limite simple de la suite de fonctions (fn)n≥0. Montrer que la convergence est uniforme.

Que pouvez-vous dire de la suite In =R

Rfn(t)dt?

Exercice 2.

Soit la suite d’int´egrales d´efinies pour n≥0 par In=

Z 1 0

ln(1 +tn)dt 1. Justifier que cette suite est bien d´efinie.

2. Calculer la limite de In lorsque n→+∞.

3. En posant u=tn, donner un ´equivalent de In.

Exercice 3.

Etudier la convergence de la suite d’int´egrale d´efinies pour n≥1 par In =

Z 1 0

dt (1−tn)1/n, et donner sa limite lorsquen →+∞.

Exercice 4.

Soit

In= Z

n

0

1−t2

n n

dt

1

(2)

1. On introduit la fonction fn: [0,+∞[→R telle que

fn(t) =

1−t2 n

n

si 0≤t≤√ n 0 sinon

Exprimerfn `a l’aide d’une fonction caract´eristique, et faire le lien avec In. 2. Montrer que

∀t≥0, fn(t)≤e−t2

3. Calculer la limite de In lorsque n→+∞ sous forme d’une int´egrale.

Exercice 5.

Soit

In= Z +∞

0

sin(nt) t(1 +t2)dt

Apr`es avoir justifier son existence, d´eterminer la limite deIn ainsi qu’un ´equivalent simple lorsque n→+∞.

Exercice 6.

(

Un calcul de P 1

1 k2

)

1. Etant donn´e k ∈N, montrer que Z π/2

0

(t−π)tcos(2kt)dt= π 4k2. 2. Montrer que

n

X

k=1

cos(2kt) = sin(2n+ 1)t 2 sint −1

2. 3. Montrer que si f ∈C1([a, b]), alors il existeC > 0 tel que

Z b a

f(t) sin(nt)dt

≤C/n.

4. En d´eduire que

X

1

1 k2 = π2

6 .

Exercice 7.

Soit f(x, t) = e−xtt+1. On souhaite d´efinir g par la formule g(x) =

Z +∞

0

f(x, t)dt.

2/4

(3)

1. Donner le domaine de d´efinition deg. 2. Montrer que g est continue sur ]0,+∞[.

3. En posant t= ux, cherchez un ´equivalent simple de g(x) lorsquex→0.

4. De mˆeme, cherchez un ´equivalent simple lorsque x→+∞.

Exercice 8.

Soit f(x, t) = ln(x+t1+t22). On souhaite d´efinir g par la formule g(x) =

Z +∞

0

f(x, t)dt.

1. Donner le domaine de d´efinition deg.

2. Montrer que g est continue et C1 sur ]0,+∞[.

3. Montrer que

g0(x) = π 2√

x(√

x+ 1). 4. En posant u= 1t, calculer g(0). En d´eduire g.

Exercice 9.

(

Un calcul de R 0

sint

t dt

)

Pourx≥0 on pose F(x) =

Z 0

e−txsint t dt.

1. Montrer que F est bien d´efinie et F(x)→0 quand x→ ∞.

2. Montrer que F ∈C1(]0,∞[) et calculerF0. 3. En d´eduire l’expression deF.

4. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que F ∈C0([0,∞[).

5. En d´eduire que

Z 0

sint

t dt= π 2.

Exercice 10.

(

Un calcul de R

0 e−t2dt

)

Pour tout r´eel x, on pose F(x) =

Z 1 0

e−x2(1+t2) 1 +t2 dt.

3/4

(4)

1. Montrer que F est bien d´efinie et F ∈C1(R).

2. Montrer que F0(x) = −2e−x2Rx

0 e−t2dt.

3. En d´eduire que F(x) + Rx

0 e−t2dt2

ne d´epend pas de x.

4. En d´eduire que

Z 0

e−t2dt =

√π 2 .

4/4

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