Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales
Int´egration et Probabilit´es 2010-2011
Travaux dirig´ es, feuille 4 : Int´ egrales ` a param` etre - d´ efinition, continuit´ e, d´ erivabilit´ e
Exercice 1
Soit f : (R,B(R))→ (R,B(R)) une fonctionλ-int´egrable, o`u on note λ la mesure de Lebesgue sur R. Soit a∈R. On pose
F(x) = ( R
[a,x]f dλ six≥a;
−R
[x,a]f dλ six < a . Par abus de notation, on ´ecrira F(x) =
Z x a
f dλen imitant la notation des int´egrales de Riemann.
1) Montrer que F est continue surR.
2) Montrer que si f est continue en b, alorsF est d´erivable en b.
3) Montrer, r´eciproquement, qu’une fonction de classeC1est l’int´egrale de sa d´eriv´ee `a une constante additive pr`es.
Exercice 2
Pour x∈R, on pose
F(x) = Z x
0
e−t2dt 2
et G(x) = Z
[0,1]
e−x2(1+t2) 1 +t2 dλ(t). 1) Montrer que les fonctions F etG sont de classeC1 surRet que F0+G0= 0.
2) Montrer que lim
x→+∞G(x) = 0.
3) En d´eduire que Z
R+
e−t2dt=
√π
2 . C’est l’int´egrale de Gauss que nous avons d´ej`a ´etudi´ee.
Exercice 3
1) D´eterminer le domaine de d´efinition (inclus dans R) de la fonctionF(x) = Z
]0,∞[
tx
(1 +t)2 dλ(t).
2) Montrer que F est de classeC∞ sur I.
Exercice 4
Soient (X,T, µ) un espace mesur´e, f : X → R et g :X → R deux fonctions µ-int´egrables. Pour t ∈R et x∈X, on pose
h(t, x) =p
g2(x) +t2f2(x).
1) Montrer que pour tout t∈R, la fonctionh(t,·) :X →R+ estµ-int´egrable.
2) Pour t∈R, on pose
H(t) = Z
X
h(t, x)dµ(x).
1
Montrer que la fonction H est continue sur Ret de classe C1 surR r{0}.
3) Montrer que H est de classeC1 sur Rsi et seulement siµ {g= 0} ∩ {f 6= 0}
= 0.
Exercice 5 On d´efinit
F(x, y) = Z
]0,+∞[
e−ty tx dλ(t). 1) Quel est le domaine de d´efinition deF ?
2) Montrer que F est de classeC1. Exercice 6 (Fonction Gamma) 1) On pose ∀x >0, Γ(x) =
Z
]0,+∞[
tx−1e−tdλ(t). Montrer que la fonction Γ est continue, puis de classe C∞ sur ]0,+∞[, et calculer ses d´eriv´ees.
2) Soit aetsdeux r´eels strictement positifs.
a) Exprimer A= Z
]0,+∞[
ts−1e−atdλ(t) en fonction de Γ.
b) Montrer que pour s >1 on a Z
]0,+∞[
ts−1
et−1dλ(t) =X
n≥1
Γ(s)n−s. c) Exprimer An=
Z
]0,+∞[
t2ne−t2dλ(t) en fonction de Γ.
d) Montrer que la fonction t7→e−t2cos(at) est int´egrable sur [0,+∞[. Calculer Z
]0,+∞[
e−t2cos(at)dλ(t) en utilisant l’´egalit´e Γ(1/2) =√
π.
Exercice 7 (convolution)
Soient f etg deux fonctions continues sur Ret nulles surR−. On pose, pour tout x∈R, (f∗g)(x) =
Z
R
f(x−t)g(t)dλ(t). Montrer que f∗g est bien d´efinie surRet nulle surR−.
Exercice 8
1) Soit la fonctiong:]0,1[→R, g(u) = Z
R
eux
ex+ 1dλ(x). Montrer queg est finie et de classe C∞. 2) Montrer que, pour tout t >0 et u∈]0,1[:
Z
]−∞,−t[∪]t,+∞[
eux
ex+ 1dλ(x) = e−ut u +
∞
X
1
(−1)n e−(u+n)t
u+n + e(u−n)t u−n
! .
Exercice 9
1) Soit φ:R+→R∗+ d´erivable `a droite en 0 et telle queφ(0) = 1. Calculer lim
a→0[φ(a)]1a. 2) Soit f : [0,1]→R∗+ continue. Poura∈R+, on pose I(a) =R
[0,1][f(x)]adλ(x).
2
a) Montrer que I est d´erivable.
b) Montrer que
a→0lim, a>0
Z
[0,1]
[f(x)]adλ(x)
!1a
= exp Z
[0,1]
logf(x)dλ(x)
! .
Exercice 10
Montrer que la fonction : F :]− ∞,0[→R, x7→
Z
]0,+∞[
ext(t+ 1)
√t dλ(t) est bien d´efinie, et de classe C∞.
Exercice 11
Soit (X,T, µ) un espace mesur´e tel que µ(X) = 1 (on dit que µ est une mesure de probabilit´e). Soit f :X→Rune fonction mesurable.
1) Montrer que, pour tout r´eelt, la fonction x7→arctan(tf(x)) estµ-int´egrable sur X.
On posera d´esormais g(t) =R
Xarctan(tf(x))dµ(x).
2) Montrer que g est une fonction continue surR.
3) Montrer que, si f estµ-int´egrable sur X, alorsg est une fonction de classeC1 sur R.
4) On suppose que f est une fonction positive et que g est d´erivable en 0. Montrer quef est µ-int´egrable sur X.
Indication: on appliquera le lemme de Fatou `a la suite de fonctions (hn)n≥1 d´efinie par hn(x) =narctan
f(x) n
.
Exercice 12
Soit f :R→R+ une fonction bor´elienne telle queR
Re|x|f(x)dλ(x)<+∞.
1) a) Montrer que pour tout y∈R, la fonction x7→cos(xy)f(x) est int´egrable sur R. b) Poury∈R, on poseF(y) =R
Rcos(xy)f(x)dλ(x). Montrer queFest de classeC1et donner une expression de sa d´eriv´ee.
Pour n∈N, posonsbn=R
R|x|nf(x)dλ(x).
2) a) Montrer que ∀n∈N, bn<+∞, et que la s´erie de terme g´en´eral bn
n! est convergente.
b) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral (−1)nb2n
(2n)! est convergente, et que l’on a
∀y∈[−1,1] F(y) =
+∞
X
n=0
(−1)nb2n (2n)! y2n.
Exercice 13
On pose, pour (x, y) ∈]−1,1[×]0,∞[, F(x, y) = Z
]0,+∞[
tx
1 +t2(ln(t+ 1))ydλ(t). Montrer que F est bien d´efinie et appartient `a C∞(]−1,1[×]0,∞[).
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