ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 6 janvier 2005
Feuille d’Exercices : Continuit´ e
Continuit´e des fonctions
Exercice 1: Etudiez la continuit´e des fonctions suivantes : 1. f1:R→Rd´efinie par∀x∈R,f1(x) =
x2 cos(1/x) six6= 0
0 six= 0
2. f2:R+ →Rd´efinie par∀x∈R+,f2(x) =
x 1−(lnx)2
six >0
0 six= 0
3. f3:R→Rd´efinie par∀x∈R,f3(x) =
sinx−cosx
x−π4 six > π4
√2 (4x−π+ 1) six≤π4 4. f4:R→Rd´efinie par∀x∈R,f4(x) =bxc+p
x− bxc.
Exercice 2:
1. Soitf1:R+?→Rla fonction d´efinie par ∀x >0,f1(x) =
√x+ 1−√
√ x
x . f1 est-elle prolon- geable par continuit´e en 0 ?
2. Soitf2: ]−1,1[→Rla fonction d´efinie par∀x∈]−1,1[,f2(x) = (1−x2) ln1 +x 1−x. Etudiez la parit´e def2 et montrez quef2 se prolonge en une fonction continue sur [−1,1].
3. Soit f3 : R+? → R d´efinie par ∀x > 0, f(x) = (ex+ 2x)1x. f3 est-elle prolongeable par continuit´e ?
4. Soit f4 : R → R d´efinie par ∀x ∈ R?, f4(x) =
1 + 5 3x2
x2
. f4 est-elle prolongeable par continuit´e ?
Propri´et´es des fonctions continues
Exercice 3 : Soit (a, b)∈R2 tels quea≤b, etf : [a, b]→[a, b] une fonction continue. Montrez quef poss`ede au moins un point fixe dans [a, b].
Exercice 4 : Soitf : [0,1]→[0,1] une fonction continue telle quef(0) =f(1). D´emontrez qu’il existec∈[0,12] tel quef(c) =f(c+12).
Exercice 5 : Montrez que toute fonction p´eriodique et continue sur R est born´ee et atteint ses bornes.
Exercice? 6 : Soitf : R→Rune fonction continue telle que lim
x→+∞f(x) = lim
x→−∞f(x) = +∞.
Montrez quef poss`ede un minimum surR.
Exercice 7: Soitf :R→Rla fonction d´efinie par∀x∈R,f(x) = x 1 +|x|. 1. Montrez quef r´ealise une bijection deRsurf(R).
2. D´eterminezf(R) et f−1
Exercice 8: On consid`ere la fonction :
f : R+? → R
x 7→ x−2 + lnx
1
1. Calculezf(1) etf(3). Que peut-on en d´eduire pour l’´equationf(x) = 0 ?
2. D´emontrez que l’´equationf(x) = 0 poss`ede uneunique solution dans R+?, not´ee α.
3. Montrez quef r´ealise une bijection de R+? surR. Etudiez l’application r´eciproqueg def : continuit´e, tableau de variations et limites aux bornes.
4. D´eterminez lim
x→+∞
f(x)
x . En d´eduire lim
t→+∞
f(g(t))
g(t) puis un ´equivalent de g au voisinage de +∞.
Applications `a l’´etude des suites
Exercice 9: On consid`ere pourn∈N? la fonction polynomiale d´efinie pour toutx∈Rpar : pn(x) =xn+xn−1+· · ·+x−1
1. En ´etudiant la fonction polynomialepn, d´emontrez qu’elle poss`ede uneuniqueracine positive not´eeαn.
2. D´emontrez que∀n∈N?,pn(αn+ 1)<0. En d´eduire le sens de variation de la suite (αn) et d´emontrez qu’elle converge.
3. Simplifiez l’expression de pn(x) pourx6= 1 et en d´eduisez-en la limite de la suite (αn).
Exercice 10 : Soitf :R→Rd´efinie par∀x∈R,f(x) =ex−x.
1. Etude de la fonctionf :
(a) D´eterminez les limites def en±∞.
(b) Montrez que la courbe repr´esentative de f admet une asymptote oblique au voisinage de−∞.
(c) Etudiez les variations def et dressez son tableau de variations.
2. Etude d’une suite d´efinie implicitement :
(a) Montrez que pour tout entiern≥2, l’´equation f(x) =n
poss`edeexactement deux solutions de signes contraires.
La solution positive de cette ´equation est not´eean. (b) Etudiez les variations de la suite (an)n≥2.
(c) D´emontrez que
∀n≥2, an≥lnn
En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (an)n≥2.
2
