Terminale STG Exercices sur le chapitre 3 : E1. 2007 2008
E1 Activité d'approche : variations d'une fonction à partir du signe de sa fonction dérivée.
N ° 1 Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ -2 ; 5 ] par f ( x ) = x² − 3x − 2.
La courbe représentative de f est donnée ci dessous.
A ) Déterminons graphiquement les variations de f sur [ - 2 ; 5 ].
La fonction f est strictement décroissante sur [ - 2 ; 1,5 ].
La fonction f est strictement croissante sur [ 1,5 ; 5 ].
B ) Dressons le tableau de variations de f sur [ - 2 ; 5 ].
x -2 1,5 5
8 8
f
- 4,25 C ) Calculons la fonction dérivée de f.
f ' ( x ) = 2x − 3.
D ) Etudions le signe de f ' ( x ) sur [ - 2 ; 5 ].
f ' ( x ) = 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 1,5.
Si x ∈ [ - 2 ; 1,5 ] alors f ' ( x ) est du signe contraire de a = 2. Donc f ' ( x ) < 0.
Si x ∈ [ 1,5 ; 5 ] alors f ' ( x ) est du signe de a = 2. Donc f ' ( x ) > 0.
E ) Dressons le tableau de signes de f ' sur [ - 2 ; 5 ].
x -2 1,5 5
2x − 3 − 0 +
f ' ( x ) − 0 +
F ) Comparons le tableau de variations de f et le tableau de signe de f '.
Les valeurs de x de ces deux tableaux sont identiques.
On remarque que lorsque f ' ( x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante et que lorsque f ' (x ) > 0 alors la fonction f est strictement croissante.
