Gloria F ACCANONI
10 décembre 2009
Étude I
Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R → R
x 7→ f (x) = x + ln(x 2 − 1) en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. convexité, concavité
5. comportement en ±∞ (recherche d’asymptôtes) 6. graphe
1. Domaine de définition : il faut x 2 − 1 > 0 donc
D
f= ] − ∞ ; − 1[ ∪ ]1; +∞ [.
2. Comportement aux extrémités du domaine de définition :
x→−∞
lim f (x) = lim
x→−∞
x
µ
1 + ln(x 2 − 1) x
¶
= −∞ ,
x
→− lim 1
−f (x) = −∞
x
lim →1
+f (x) = −∞
x→+∞
lim f (x) = +∞
3. Extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations : la dérivée de f est l’application f 0 : D
f→ R
x 7→ f 0 (x) = 1 + 2x
x 2 − 1 = x 2 + 2x − 1
x 2 − 1 = (x + 1 + p
2)(x + 1 − p 2) x 2 − 1
Dans D
fon a
f 0 (x) > 0 ssi x ∈ ] − ∞ ; − 1 − p
2[ ∪ ]1; +∞ [, f 0 (x) = 0 ssi x = − 1 − p
2, f 0 (x) < 0 ssi x ∈ ] − 1 − p
2; − 1[.
On conclut que
– f est strictement croissante sur ] − ∞ ; − 1 − p
2[ et sur ]1; +∞ [, – f est strictement décroissante sur ] − 1 − p
2; − 1[, – x = − 1 − p
2 est un point de maximum local et on a f ( − 1 − p
2) = − 1 − p
2 + ln(2 + 2 p 2).
Le tableau des variations est alors le suivant : x
f 0 (x) f (x)
−∞ −1−p
2 −1 1 +∞
+ 0 − +
−∞
−∞ −∞ −∞
+∞
+∞
−1−p 2+ln(2+2p
2)
1
4. Convexité, concavité : la dérivée seconde de f est l’application f 00 : D
f→ R
x 7→ f 00 (x) = 2(x 2 − 1) − 4x 2
(x 2 − 1) 2 = − 1 − 2x 2
Dans D
fon a f 00 (x) < 0. On conclut que la fonction est concave séparemment sur ] − ∞ ; − 1[ et sur ]1; +∞ [.
5. Comportement en ±∞ (recherche d’asymptôtes)
x
→±∞ lim f (x)
x = lim
x
→±∞ 1 + ln(x 2 − 1) x = 1,
x→±∞
lim f (x ) − x = lim
x
→±∞ ln(x 2 − 1) = +∞ . Il n’y a pas d’asymptôtes en ±∞ .
f possède une branche parabolique dans la direction asymptôtique x en +∞ et en −∞ . 6. Graphe
x
y f
−1−p 2+ln(2+2p
2)
−1−p
2 −1+p
2
−1 1
Étude II
Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R → R
x 7→ f (x) = 2x + p x 2 − 1 en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition et régularité
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. convexité, concavité
5. comportement en ±∞ (recherche d’asymptôtes) 6. graphe
1. Domaine de définition et régularité : il faut x 2 − 1 ≥ 0 donc
D
f= ] − ∞ ; − 1] ∪ [1; +∞ [ et f ∈ C ∞ ( D
f).
2. Comportement aux extrémités du domaine de définition :
x
→−∞ lim f (x ) = lim
x
→−∞ x Ã
2 +
p x 2 − 1 x
!
= −∞ ,
x
→−1 lim
−f (x ) = f ( − 1) = − 2, lim
x→1+
f (x ) = f (1) = 2,
x
→+∞ lim f (x ) = +∞ .
3. Extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations : la dérivée de f est la fonction f 0 : D
f→ R
x 7→ f 0 (x) = 2 + 1 2
p 2x
x 2 − 1 = 2 p
x 2 − 1 + x p x 2 − 1 Dans D
f\ { ± 1} on a
f 0 (x) > 0 ssi x ∈ ] − ∞ ; − 2
p 3 [ ∪ ]1; +∞ [, f 0 (x) = 0 ssi x = − 2
p 3 , f 0 (x) < 0 ssi x ∈ ] − 2
p 3 ; − 1[
et lim
x→±1±f 0 (x) = +∞ . On conclut que
– f est strictement croissante sur ] − ∞ ; − p 2 3 [ et sur ]1; +∞ [, – f est strictement décroissante sur ] − p 2 3 ; − 1[,
– x = − p 2 3 est un point de minimum local et on a f ( − p 2 3 ) = − p 3.
Le tableau des variations est alors le suivant : x
f 0 (x) f (x)
−∞ −p2
3 −1 1 +∞
+ 0 − +
−∞
−∞ −2 22
+∞
+∞
−p 3
4. Convexité, concavité : la dérivée seconde de f est la fonction f 00 : D
f→ R
x 7→ f 00 (x) =
p x 2 − 1 − x p
x x2− 1
x 2 − 1 = − 1
x 2 − 1
Dans D
f\ { ± 1} on a f 00 (x ) < 0. On conclut que f est concave sur D
f.
5. Comportement en ±∞ (recherche d’un asymptôte)
– Si x > 0, en calculant le développement asymptotyque à l’ordre 2 en +∞ on a f (x )
x = 2 + p x 2 − 1
x = 2 + r
1 − 1
x 2 = 3 − 1 2
1
x 2 + o(x −2 ).
On en déduit que la droite d’équation y = 3x est l’asymptôte de f en +∞ (le graphe de f se trouve au dessous de cet asymptôte).
– Si x < 0, en calculant le développement asymptotyque à l’ordre 2 en −∞ on a f (x )
x = 2 + p x 2 − 1
x = 2 − r
1 − 1
x 2 = 1 + 1 2
1
x 2 + o(x − 2 ).
On en déduit que la droite d’équation y = x est l’asymptôte de f en −∞ (le graphe de f se trouve au dessous de cet asymp- tôte).
6. Graphe
x y
− p 2 3
− p 3
− 1 1
y = 3 x
y = x
Étude III
Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R → R
x 7→ f (x) = ln 2 x x 2 en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition et régularité
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. convexité, concavité
5. comportement en +∞ (recherche d’asymptôtes) 6. graphe
1. Domaine de définition et régularité : il faut ( x 6= 0
x > 0 donc
D
f= ]0; +∞ [ et f ∈ C ∞ ( D
f).
2. Comportement aux extrémités du domaine de définition : lim
x→0+
f (x) = +∞ ,
x→+∞
lim f (x) = 0 + .
3. Extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations : la dérivée de f est la fonction f 0 : D
f→ R
x 7→ f 0 (x) = 2 ln x(1 − ln x) x 3 Dans D
fon a
f 0 (x) > 0 ssi x ∈ ]1; e[, f 0 (x) = 0 ssi x = e,
f 0 (x) < 0 ssi x ∈ ]0; 1[ ∪ ]e; +∞ [.
On conclut que
– f est strictement croissante sur ]1; e[[,
– f est strictement décroissante sur ]0; 1[ et sur ]e; +∞ [,
– x = 1 est un point de minimum absolu, x = e est un point de maximum local et on a f (1) = 0, f (e ) =
e1
2. Le tableau des variations est alors le suivant :
x
f 0 (x) f (x)
0 1 e +∞
− + −
+∞
0
0 e−2 0
4. Convexité, concavité : la dérivée seconde de f est la fonction f 00 : D
f→ R
x 7→ f 00 (x) = 2 3 ln 2 x − 5 ln x + 1 x 4 Dans D
fon a
f 00 (x ) > 0 ssi x ∈ ]0; e
5−p13 6
[ ∪ ]e
5+p13 6
; +∞ [, f 00 (x ) = 0 ssi x = e
5±p13
6
,
f 00 (x ) < 0 ssi x ∈ ]e
5−p13 6
;e
5+p13 6
[.
On conclut que
– f est convexe sur ]0; e
5−p13
6
[ et sur ]e
5+p13 6
; +∞ [, – f est concave sur ]e
5−p13 6
; e
5+p13 6
[, – x = e
5±p13
6
sont des flexes.
5. Comportement en +∞ (recherche d’un asymptôte) : y = 0 est asymptôte pour x → +∞ . 6. Graphe
x y
e
1
e21 e
5−p13
6
e
5+p13
