La fonction f est clairement d´erivable sur R, avec f0(x

Corrig´e du DS du 11 janvier 2018 Exercice 1.

a. On observe que wn =f(un) avec f(x) = x−sinx. La fonction f est clairement d´erivable sur R, avec f⁰(x) = 1−cosx≥0 pour toutx. Ainsi,f est croissante sur R, et puisque f(0) = 0, elle est positive sur [0,+∞[. Comme la suite (un)n≥1 est d´ecroissante et `a termes positifs, il en r´esulte que (wn)n≥1 est aussi d´ecroissante et `a termes positifs.

b. Puisque α >0, on a limn→∞un = 0 et donc limn→∞wn =f(0) = 0. Ainsi, la suite (wn)n≥1

est positive et converge vers 0 en d´ecroissant. La s´erie P

n≥1(−1)ⁿwn est donc une s´erie altern´ee convergente.

c. La s´erie de terme g´en´eralunest une s´erie de Riemann ; on sait d’apr`es le cours qu’elle converge si et seulement si on a α >1. On a aussi sinu∼u quand u→ 0 et doncvn ∼un quand n→ ∞.

Deux s´eries `a termes positifs ´equivalents ´etant de mˆeme nature, on en d´eduit que la s´erie de terme g´en´eralvn converge si et seulement si on a α >1.

d. Pourα >1, la s´erie de terme g´en´eral wn est convergente en tant que combinaison lin´eaire de deux s´eries convergentes. Pour 0< α≤1, elle est combinaison lin´eaire de deux s´eries divergentes et on ne peut pas en d´eduire sa nature.

e. Puisque sinun∼un, un ´equivalent dewn=un−sinun s’obtiendra `a l’aide d’un d´eveloppement

`

a deux termes de sinun. Or, on sait que l’on a sinu =u− ₆¹u³+u³ε(u) avec limu→0ε(u) = 0, et on en tire alors wn = ¹₆u³_n+u³_nε(un)∼ ¹₆u³_n, c’est-`a-direwn ∼ ¹_6n¹3α.

f. La s´erie de terme g´en´eral ¹_6n¹3α est, `a une constante multiplicative non nulle pr`es, une s´erie de Riemann qui converge si et seulement si on a 3α > 1, c’est-`a-dire α > <sup>1</sup><sub>3</sub>. Deux s´eries `a termes positifs ´equivalents ´etant de mˆeme nature, il s’ensuit finalement que la s´erie de terme g´en´eral wn

converge si et seulement si on a α > ¹₃. Exercice 2.

a. Soient I = [0,+∞[ et X = [0,+∞[. On consid`ere la fonction f : I ×X → R d´efinie par f(t, x) = _1+tx^e−t , de sorte que F(x) =R+∞

0 f(t, x)dt.

(i) La fonction (t, x)7→e^−t est continue sur I×X puisque l’exponentielle est continue surR. La fonction (t, x)7→1 +txest polynomiale, donc continue, surI×X; et elle ne s’y annule pas puisque l’on a 1 +tx ≥1 pour tous t ≥ 0 et x ≥ 0. Ainsi la fonction f, qui est le quotient de ces deux fonctions, est continue sur I×X.

(ii) Pour tout (t, x) ∈ I ×X, on a 1 +tx ≥ 1 et donc 0 ≤ f(t, x) ≤ e^−t, ce qui s’´ecrit encore

|f(t, x)| ≤ ϕ(t) avec ϕ(t) = e^−t. De plus, l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞

0 ϕ(t)dt est convergente, puisque l’on a RT

0 ϕ(t)dt=RT

0 e^−tdt= 1−e^−T →1 quand T →+∞.

D’apr`es le th´eor`eme de continuit´e pour les fonctions d´efinies par une int´egrale g´en´eralis´ee, les points (i) et (ii) permettent de conclure `a la continuit´e de F sur X.

On aF(0) =R+∞

0 e^−tdt= 1 par ce qui pr´ec`ede.

b. Fixonsx >0. La fonction s7→ ^e_1+s^−sx est continue, donc localement int´egrable, sur [0,+∞[. De plus, on a 0≤ ^e_1+s^−sx ≤e^−sxpour touts≥0. Or, l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞

0 e^−sxdsest convergente (et elle vaut ¹_x) : en effet, on a RS

0 e^−sxdx = h

e^−sx

−x

iS

0 = ¹_x(1−e^−Sx) → ¹_x quand S → +∞. Le th´eor`eme de comparaison pour les int´egrales g´en´eralis´ees de fonctions positives permet alors de

conclure `a la convergence de G(x) ; et on a de plus l’encadrement 0≤ G(x) ≤R+∞

0 e^−sxds = _x¹, dont on d´eduit imm´ediatement limx→+∞G(x) = 0.

c. Fixons x >0. Pour tout S >0, sur l’intervalle [0, S], on fait le changement de variable lin´eaire s= _x^t,ds = ¹_xdt. On obtient ainsi

Z S

0

e^−sx

1 +sds = 1 x

Z Sx

0

e^−t

1 +_x^t dt. En faisant tendre S vers +∞, on trouve la relation

G(x) = 1 xF

1 x

.

d. La fonction x 7→ ¹_x est continue sur ]0,+∞[ et `a valeurs positives ; et on a vu que F est continue sur [0,+∞[. Compte tenu de l’expression trouv´ee `a la question pr´ec´edente, G est donc continue sur ]0,+∞[ comme compos´ee de fonctions continues. On a de plus limx→+∞xG(x) = lim_x→+∞F(1/x) =F(0) = 1 grˆace `a la continuit´e deF en 0. Cette ´egalit´e peut se r´e´ecrire sous la formeG(x)∼ _x¹ pour x→+∞.

Exercice 3.

a. On int`egre par parties sur l’intervalle [1, T] pourT >1, en posantu(t) = lntetv⁰(t) = _t2n+2¹ = t⁻²ⁿ⁻². On au⁰(t) = ¹_t et v(t) = _−2n−1¹ t⁻²ⁿ⁻¹=−_(2n+1)t¹ 2n+1. Les fonctions u etv sont bien de classe C¹ sur [1, T] et l’int´egration par parties donne

Z T

1

lnt

t²ⁿ⁺²dt =

− lnt (2n+ 1)t²ⁿ⁺¹

T

1

+ 1

2n+ 1 Z T

1

1 t²ⁿ⁺²dt

= − lnT

(2n+ 1)T²ⁿ⁺¹ + 1 2n+ 1

− 1

(2n+ 1)t²ⁿ⁺¹ T

1

= − lnT

(2n+ 1)T²ⁿ⁺¹ + 1 (2n+ 1)²

1− 1 T²ⁿ⁺¹

. On a limT→+∞ lnT

T²ⁿ⁺¹ = 0 et lim_T→+∞T2n+1¹ = 0 d’apr`es les r`egles sur les limites de fonctions usuelles. Par cons´equent, limT→+∞

RT 1

lnt

t²ⁿ⁺²dt existe et vaut _(2n+1)¹ 2, ce qui ´equivaut `a dire que l’int´egrale g´en´eralis´eeun converge, avec un = _(2n+1)¹ 2.

b. Pour t ∈]1,+∞[, on a f(t) = _(t+1)(t−1)^lnt = _t+1^{1 `(t)−`(1)}_t−1 avec`(t) = lnt. On a limt→1 1 t+1 = <sup>1</sup><sub>2</sub> et limt→1`(t)−`(1)

t−1 = `<sup>0</sup>(1) = <sup>1</sup><sub>1</sub> = 1, d’o`u limt→1f(t) = ¹₂. La fonction f se prolonge donc par continuit´e en 1 (par la valeur ¹₂).

c. On ´etudie la fonctiongd´efinie sur [4,+∞[ parg(t) = lnt−√

t. On ag⁰(t) = ¹_t−₂^√1_t = ²⁻

√t 2t ≤0 puisque √

t≥√

4 = 2 pour tout t≥4. Ainsi la fonction g est d´ecroissante sur [4,+∞[. Or, on a g(4) = ln 4−√

4 = 2 ln 2−2 = 2(ln 2−1)≤0. On en d´eduitg(t)≤0 pour tout t≥4, ce qui est l’in´egalit´e voulue.

d. Il s’agit d’une int´egrale g´en´eralis´ee sur l’intervalle ouvert ]1,+∞[. On ´etudie donc la convergence des int´egralesRc

1 f(t)dt etR+∞

c f(t)dt pour un point c∈]1,+∞[. La question pr´ec´edente incite `a prendre c= 4.

La fonction f est continue sur ]1,4] et se prolonge par continuit´e au point 1 d’apr`es b. On sait qu’alors l’int´egraleR4

1 f(t)dt est convergente.

La fonction f est aussi continue, donc localement int´egrable, sur [4,+∞[. En tout point t de cet intervalle, on a l’in´egalit´e 0 ≤ f(t) ≤

√t

t²−1 d’apr`es c. Or, pour t → +∞ on a

√t

t²−1 ∼ _t3/2¹ et

l’int´egraleR+∞

4 dt

t^3/2 converge, car c’est une int´egrale du typeR+∞

a dt

t^α avecα >1. Par comparaison d’int´egrales g´en´eralis´ees de fonctions positives (par ´equivalents, puis par majoration), on en tire que les int´egralesR+∞

4

√t

t²−1dt, puis R+∞

4 f(t)dt, sont convergentes.

Ceci prouve finalement la convergence de l’int´egrale g´en´eralis´eeI.

e. On consid`ere la fonction h d´efinie sur l’intervalle [1,+∞[ par h(t) = lnt− ¹₂(t²−1). Cette fonction est d´erivable sur [1,+∞[ et on ah⁰(t) = ¹_t −¹₂2t= ¹_t−t≤0 pour toutt≥1. Ainsi,hest d´ecroissante sur [1,+∞[. On a h(1) = ln 1− ¹₂(1²−1) = 0. Il en r´esulteh(t)≤0 pour toutt≥1, ce qui est l’in´egalit´e recherch´ee.

f. Du r´esultat pr´ec´edent, on d´eduit imm´ediatement que l’on a 0 ≤ f(t) ≤ ¹₂ pour tout t >1, et cela reste vrai pour t= 1 lorsque f est prolong´ee par continuit´e. On a donc 0≤ _t2N+2^f(t) ≤ ¹_2t2N+2¹

pour tout t≥1. L’int´egrale R+∞

1 dt

t^2N+2 converge et vaut _2N¹₊₁ ; le th´eor`eme de comparaison des int´egrales de fonctions positives permet d’en conclure que l’int´egrale IN converge et que l’on a 0≤IN ≤ ¹_22N¹₊₁ = _4N+2¹ .

g. On a

N

X

n=0

un =

Z +∞

1

lnt t²

^N X

n=0

1 t²ⁿ

dt.

Pour tout t >1, on a

N

X

n=0

1 t²ⁿ =

N

X

n=0

1 t²

n

= 1−

1 t²

N+1

1−_t¹2

= 1− _t2N+2¹

1− _t¹2

: en effet, il s’agit de la somme desN+ 1 premiers termes d’une suite g´eom´etrique de raison _t¹2. En reportant dans l’´egalit´e pr´ec´edente, on trouve

N

X

n=0

un =

Z +∞

1

lnt t²(1− _t¹2)

1− 1 t^2N+2

dt

=

Z +∞

1

f(t)

1− 1 t^2N+2

dt

= I−IN. h. Comme limN→∞ 1

4N+2 = 0, l’encadrement 0 ≤ IN ≤ _4N+2¹ implique limN→∞IN = 0. De l’´egalit´e ´etablie au g, on d´eduit alors que l’on a limN→∞PN

n=0un=I. Autrement dit, la s´erie de terme g´en´eralun converge et on aP+∞

n=0un=I. Compte tenu de la d´efinition deI et de l’´egalit´e un= _(2n+1)¹ 2 ´etablie au a, il s’agit bien de la relation (R).