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I.1. (x, t) 7→ f (x − t)g(t) de R ×[−π, +π] dans C est continue et born´ee donc le th´eor`eme de continuit´e sous le signe R

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Partie I 15

I.1. (x, t) 7→ f (x − t)g(t) de R ×[−π, +π] dans C est continue et born´ee donc le th´eor`eme de continuit´e sous le signe R

nous permet d’affirmer que f ∗ g est continue. On v´erifie de mani`ere triviale que f ∗ g est ´egalement 2π-p´eriodique. . . 2 Ensuite, en posant x − t = u et en remarquant que, pour une fonction 2π-p´eriodique, on a

Z

x+2π x

= Z

0

, on obtient f ∗ g = g ∗ f. . . 1 f [ ∗ g(n) = 1

(2π)

2

Z

−π

Z

−π

f(x − t)g(t) dt

e

−inx

dx

= 1

(2π)

2

Z

−π

Z

−π

f(x − t)e

−inx

dx

g (t) dt (th´eor`eme de Fubini)

= 1

(2π)

2

Z

−π

Z

−π

f(u)e

−inu

du

g (t)e

−int

dt (changement x = t + u)

= f b (n) b g(n). 2

La derni`ere ´egalit´e est imm´ediate.

I.2. On retrouve le cas classique : P est l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques. En effet si f ∈ P il existe N ∈ N tel que n > N ⇒ f b (n) = 0. On pose alors g = S

N

(f), f et g ont mˆemes coefficients de Fourier et sont continues donc f = g = S

N

(f ).

R´eciproque imm´ediate. . . 4 I.3. C

A

est un ferm´e, en effet, si (f

p

) est une suite de C

A

qui converge uniform´ement vers f

alors, ∀n / ∈ A, f b

p

(n) = 0 ⇒ f b (n) = 0 et donc f ∈ C

A

.

Vu que P

A

⊂ C

A

, on en d´eduit que P

A

⊂ C

A

. . . 3 Pour l’autre inclusion, on utilise soit le noyau de Fejer, soit le noyau K

n

(t) = α

n

(1+cos t)

n

o` u α

n

est choisi pour que 1

2π Z

π

−π

K

n

(t) dt = 1. En fait on peut aussi utiliser une version du th´eor`eme de Weierstrass.

I.4. On a f e d

k

(λ) = 1 2π

Z

−π

f(t)e

ikt

e

−iλt

dt = f(λ b − k) = X

l∈Z

f b (l) b e

k

(λ − l).

Par lin´earit´e, comme les sommes sont finies, on obtient bien le r´esultat

∀λ ∈ Z , f P c (λ) = X

n∈Z

f(λ b − n) P b (n) = X

n∈Z

f(n) b P b (λ − n) 3

1

(2)

Partie II 35 II.1. On raisonne par r´ecurrence sur m.

• Pour m = 1, la propri´et´e est ´evidente.

• Supposons la vraie jusqu’au rang m − 1. A l’ordre m, prouvons que ε

m

= 0 : par l’absurde : si ε

m

6= 0 alors |ε

m

λ

m

| > λ

m

> 3λ

m−1

or

m−1

X

k=1

ε

k

λ

k

6 2

m−1

X

k=1

λ

k

6 2λ

m−1 m−2

X

k=0

1

3

k

< 3λ

m−1

, ce qui rend l’´egalit´e ε

m

λ

m

= −

m−1

P

k=0

ε

k

λ

k

impossible.

Conclusion : ∀k ∈ N , ε

k

= 0. . . 4 Supposons maintenant que n =

P

m k=1

ε

k

λ

k

= P

m k=1

ε

k

λ

k

(on a pris le mˆeme m quitte `a prendre des ε

k

nuls).

On a alors P

m k=1

k

− ε

k

k

= 0 avec |ε

k

− ε

k

| 6 2 et en utilisant le r´esultat pr´ec´edent on en d´eduit que ε

k

= ε

k

.

Conclusion : l’´ecriture n = P

m k=1

ε

k

λ

k

est unique. . . 1 II.2. a. On a

S(t) = 2 δ

Y

m k=1

1 + δ

2 e

i(λkt+ϕk)

+ δ

2 e

−i(λkt+ϕk)

= 2 δ

X

1,...,εm)∈{−1,0,1}m

δ 2

Pm

l=1

l|

e

i

Pm l=1

εllt+ϕl)

. 4

(On pouvait aussi raisonner par r´ecurrence sur m et utiliser le I.4 .) Pour calculer S(n), trois cas se pr´esentent : b

• Si n = 0 alors S(0) = b 2 δ ,

• Si n n’est pas de la forme P

m l=1

ε

l

λ

l

alors S(n) = 0. . . 2 b

• Si n = P

m l=1

ε

l

λ

l

alors, vu la repr´esentation unique de m, il n’y aura qu’un seul terme de cette forme dans l’´ecriture ci-dessus et donc

S(n) = b 2 δ

δ 2

Pm

l=1

l|

e

i

Pm l=1

εlϕl

. 3

Ceci permet de r´epondre aux deux questions.

b. S(λ b

k

) = e

k

et S(−λ b

k

) = e

−iϕk

car on a dans ce cas ε

k

= 1 ou -1, les autres ´etant nuls. . . 1 Si n / ∈ {±λ

k

, k ∈ [1, m]} ∪ {0}, on a deux cas possibles :

• si n ne s’´ecrit pas sous la forme P

m l=1

ε

l

λ

l

alors S(n) = 0 b 6 δ 2 ,

• et si n = P

m l=1

ε

l

λ

l

, au moins deux ε

l

sont non nuls et b S(n) 6 2 δ

δ 2

2

= δ 2 . . 1 c. On a kSk

1

= S(0) = b 2

δ car S est positive.. . . 3

(3)

II.3. a. Par un simple calcul int´egral on a

 

 b

a(0) = 1 b

a(n) = 2

ε

2

n

2

(1 − cos nε) pour n ∈ Z

. . . . 4 b. a est continue, de classe C

1

par morceaux, donc a est ´egale `a sa s´erie de Fourier, si

on prend la valeur en 0, on a bien la relation demand´ee : X

n∈Z

b a(n) = 2π

ε . 2

c. On remarque que b a(−n) = b a(n) d’o` u X

|n|>N

b

a(n) = 2 X

+∞

n=N+1

b a(n)

= 4 ε

2

X

+∞

n=N+1

1 − cos nε n

2

6

8 ε

2

X

+∞

n=N+1

1 n

2

6 8

ε

2

N . 2

II.4. Montrons que λ

k+1

> λ

k

− n > λ

k−1

(ce qui prouvera aussi que λ

k

− n > 0).

On a λ

k

− n − λ

k−1

> 3λ

k−1

− n − λ

k−1

= 2λ

k−1

− n > 2.3

k−2

− n > 2.3

N−1

− N > 0. 1 Ensuite, λ

k+1

− λ

k

+ n >

k

+ n > 2.3

k−1

+ n > 2.3

N

− N > 0 donc λ

k

− n / ∈ Λ. . . 2 On peut alors appliquer le I.4 car S ∈ P :

T b (λ

k

) = aS(λ c

k

) = X

n∈Z

b a(n) S(λ b

k

− n)

= b a(0) S(λ b

k

) + X

0<|n|

6

N

b

a(n) S(λ b

k

− n) + X

|n|>N

b

a(n) S(λ b

k

− n),

et comme b a(0) = 1, il suffit de majorer chacune des deux sommes qui apparaissent ci- dessus :

X

0<|n|

6

N

b

a(n) S(λ b

k

− n)

6 δ 2

X

0<|n|

6

N

b

a(n) 6 δ 2

X

n∈Z

b

a(n) = πδ ε car les b a(n) sont des r´eels positifs et S(λ b

k

− n) 6 δ

2 puisque λ

k

− n > 0 et λ

k

− n / ∈ Λ. 3

Enfin,

X

|n|>N

b

a(n) S(λ b

k

− n)

6 2 δ

X

|n|>N

b

a(n) 6 16

ε

2

Nδ 2

car tous les | S(λ b

k

− n)| sont major´es par 2 δ . Conclusion : | S(λ b

k

) − T b (λ

k

)| 6 δπ

ε + 16

ε

2

Nδ .

(4)

Partie III 14 III.1. C’est une cons´equence du II.4 :

• on pose δ = ε

4π ∈]0, 1[, . . . 1

• on prend l >

64 ε

2

δ

+ 2 . . . 2

• et M = 4π

δε . . . 1 Soit maintenant m > l et ϕ ∈ R

m

, l’´el´ement T de C construit au II `a partir de ces donn´ees v´erifie bien les conditions (i) et (ii).

Or kT k

1

= 1 2π

Z

−π

|a(t)|.|S(t)| dt 6

ε kSk

1

= M donc T v´erifie aussi (iii).

III.2. a. D’une part :

(P ∗ T )(0) = 1 2π

Z

−π

P (−t)T (t) dt = 1 2π

Z

−ε

P (−t)T (t) dt d’o` u

|(P ∗ T )(0)| 6 kP k

Iε

1 2π

Z

−ε

|T (t)| dt 6 M kP k

ε

. 2 D’autre part

P ∗ T = T ∗ P = X

m

k=l

ζ

k

e

−iϕk

T ∗ e

λk

= X

m

k=l

ζ

k

e

−iϕk

T b (λ

k

)e

λk

et donc (P ∗ T )(0) − X

m

k=l

ζ

k

=

X

m k=l

ζ

k

e

−iϕk

[ T b (λ

k

) − e

k

] 6

1 2

X

m k=l

ζ

k

. 4

Et comme

(P ∗ T )(0) − P

m k=l

ζ

k

>

P

m k=l

ζ

k

− |(P ∗ T )(0)| on en d´eduit que : X

m

k=l

ζ

k

6 M kP k

Iε

+ 1 2

X

m k=l

ζ

k

d’o` u X

m

k=l

ζ

k

6 2MkP k

Iε

. b. Si P ∈ P

Λ

alors P s’´ecrit sous la forme P =

P

m k=l

ζ

k

e

−iϕk

e

λk

avec ζ

k

> 0 pour tout k d’o` u

kP k 6 X

m

k=l

ζ

k

6 2M kP k

Iε

. 2

Vu le I.3 , on sait que C

Λ

= P

Λ

(adh´erence au sens de la norme uniforme k.k), cette in´egalit´e est donc aussi valable pour tous les ´el´ements f de C

Λ

(en effet, si (f

n

) converge uniform´ement vers f sur [−π, π], alors (f

n

) va aussi converger uniform´ement vers f sur I

ε

).

On a donc le r´esultat :

∀f ∈ C

Λ

, kfk 6 2M kf k

Iε

2

ce qui signifie bien que C

Λ

est associ´e `a ε.

(5)

Partie IV 21 IV.1. a. Si k ∈ Z , on a :

b

g

h

(k) = 1 2π

Z

−π

g(t + h)e

−ikt

dt − e

iqh

b g(k) = (e

ikh

− e

iqh

) b g (k).

Comme g ∈ C

A

, si k / ∈ A, g b (k) = 0 et donc b g

h

(k) = 0, i.e. g

h

∈ C

A

. . . 2 Ensuite, g

h

est ´evidemment nulle sur I

ε

et comme C

A

est associ´e `a ε et que g

h

∈ C

A

alors g

h

= 0. . . 2 La fonction g n’´etant pas identiquement nulle, il existe donc k ∈ A tel que b g(k) 6= 0 et donc, pour |h| 6 η, e

ikh

= e

iqh

. En d´erivant par rapport `a h, on en d´eduit que q = k ∈ A. . . 2 b. Par l’absurde :

∀L ∈ R , ∃f ∈ C

A

, ∃z ∈ C , |z| > Lkf + ze

q

k

Iε+η

. Avec L = n ∈ N

,

∀n ∈ N

, ∃f

n

∈ C

A

, ∃z

n

∈ C , 1 n >

1

z

n

f

n

+ e

q

Iε+η

, la suite g

n

= − 1

z

n

f

n

est alors une suite de Cauchy de C

A

(car kg

p

− g

q

k 6 1 p + 1

q ). C

´etant complet, il en est de mˆeme de C

A

qui est ferm´e. Soit g la limite uniforme de (g

n

) dans C

A

, kg

n

− e

q

k

Iε

converge d’une part vers 0 grˆace `a l’in´egalit´e ci-dessus et d’autre part vers kg − e

q

k

Iε+η

.

On a donc ∀t ∈ I

ε+η

, g(t) = e

q

(t) et, vu le a, q ∈ A ce qui est impossible. On a bien prouv´e la propri´et´e

∀f ∈ C

A

, ∀z ∈ C , |z| 6 Lkf + ze

q

k

Iε+η

. 6 Enfin, si P ∈ P

A∪{q}

alors P = Q + ze

q

o` u Q ∈ C

A

.

kP k 6 kQk + |z| et kQk

Iε

6 kP k

Iε

+ |z|, d’o` u

kP k 6 M kQk

Iε

+ |z| 6 M kP k + (M + 1)|z| 6 M kP k

Iε

+ (M + 1)LkP k

Iε+η

i.e.

kP k 6 M

kP k

Iε+η

o` u M

= M + (M + 1)L.

Vu que C

A∪{q}

= P

A∪{q}

, on a la mˆeme in´egalit´e pour tous les ´el´ements de C

A∪{q}

. Conclusion : C

A∪{q}

est associ´e `a ε + η. . . 4 IV.2. Soit ε > 0, d’apr`es le III , il existe l ∈ N

tel que C

Λ

soit associ´e `a ε

2 .

• Si l = 1, on a Λ

= Λ, la d´emonstration est termin´ee.

• Sinon, soit η = ε

2(l − 1) , on applique le r´esultat de la question pr´ec´edente successive- ment `a λ

1

, . . . , λ

l−1

et on prouve ainsi que C

Λ

est associ´e `a ε. . . 5 Remarque : On a ainsi prouv´e que si Λ est un ensemble d’entiers relatifs, 3-lacunaires au sens d’Hadamard, alors, pour tout ε > 0, une fonction continue `a spectre dans Λ est enti`erement connue d`es qu’elle est connue sur ”l’intervalle de temps” I

ε

= [−ε, +ε]. Ceci se traduit de mani`ere usuelle par l’obtention d’une in´egalit´e a priori du type :

(∗) kP k 6 MkP k

Iε

pour P polynˆome trigonom´etrique `a spectre dans Λ.

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