1 f : t 7−→ t 2 e −t est continue sur R et Pour tout t ∈ R , f (t) > 0. Ainsi F (3) repré- sente l’aire du domaine situé entre C , l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 0 et x = 3. VRAI

TS Grille de correction DS 4 _2012-2013

E1 Réponse Points Obtenus

1 f : t 7−→ t ² e ^−t est continue sur R et Pour tout t ∈ R , f (t) > 0. Ainsi F (3) repré- sente l’aire du domaine situé entre C , l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 0 et x = 3. VRAI

2 F( − 2) = Z ⁻ 2

0

t ² e ^−t dt = − Z 0

− 2

t ² e ^−t dt. Or − 2 < 0 et compte-tenu des propriétés de la fonction f citées au 1.,

Z 0

− 2

t ² e ^−t dt > 0 et donc F( − 2) < 0. FAUX 3 F est l’unique primitive de f qui s’annule en 0 donc F ^′ (x) = f (x) = x ² e ^−x .

FAUX

4 Soit G la fonction définie par : G(x) = ( − x ² − 2x − 2)e ^−x + 2. D’une part, G(0) = 0 et G ^′ (x) = ( − 2x − 2)e ^−x − ( − x ² − 2x − 2)e ^−x = x ² e ^−x = f (x) donc G est l’unique primitive de f qui s’annule en 0, G = F. VRAI

Total −→ points

E 2 Réponse Points Obtenus

A.ROC Voir le cours de votre professeur. Le point de départ de la démonstration consiste à poser h(x) = g(x) − f (x) sur [a; b]. h(x) > 0 donc ....

Z ^b

a

h(x) dx > 0 et ... etc B.1.a 0 6 x 6 1 ⇔ 0 6 x ² 6 1 ⇔ − 1 6 − x ² 6 0. Par application de la fonction

exponentielle, strictement croissante sur R , on obtient :

∀ x ∈ [0; 1], e ^{− 1} 6 e ^−x

6 1.

B.1.b Compte-tenu de la continuité sur [0; 1] des fonctions en présence, on applique la propriété d’intégration des inégalités (cf. partie A), ce qui donne :

Z 1

0

e ⁻¹ dx 6 Z 1

0

e ^−x

dx 6 Z 1

0

1 dx ⇔ [e ⁻¹ x] ¹ 0 6 u 0 6 [x] ¹ 0 ⇔ 1

e 6 u 0 6 1 B.2 u 1 =

Z 1

0

xe ^−x

dx =

− 1 2 e ^−x

¹

0

= 1 2 + 1

2e car la fonction x 7−→ − 1

2 e ^−x

est une primtive de x 7−→ xe ^−x

B.3.a La fonction x 7−→ x ⁿ f (x) est continue sur [0; 1] et ∀ x ∈ [0; 1], ∀ n ∈ N ^∗ , x ⁿ f (x) > 0 donc d’après la propriété de la partie A.,

Z 1

0

x ⁿ f (x) dx > 0 ⇔ u ⁿ > 0 B.3.b ∀ n ∈ N ^∗ , u n +1 − u n =

Z 1

0

x ^{n +1} f (x)dx − Z 1

0

x ⁿ f (x)dx =

lin é arit é

Z 1

0

x ⁿ f (x)(x − 1)dx Or ∀ x ∈ [0; 1], x − 1 6 0 ce qui implique que x ⁿ f (x)(x − 1) 6 0 et par suite, Z 1

0

x ⁿ f (x)(x − 1) dx 6 0 ⇔ u n +1 − u n 6 0 ⇔ (u n ) décroissante.

B.3.c La suite (u ⁿ ) est décroissante et minorée donc elle est convergente.

B.4.a ∀ x ∈ [0; 1], e ^−x

6 1 (cf.B.1.a) ⇔ ∀ n ∈ N ^∗ , x ⁿ e ^−x

6 x ⁿ , on utilise la propriété démontrée en partie A. et l’on obtient :

u ⁿ 6 Z 1

0

x ⁿ dx ⇔ u ⁿ 6 x ^{n +1}

n + 1 ¹

0

⇔ u ⁿ 6 1 n + 1 B.4.b ∀ n ∈ N ^∗ , 0 6 u ⁿ 6 1

n + 1 d’après B.3.a et B.4.a. Comme 1 n + 1 −→

+ ∞ 0, l’utilisation du théorème des gendarmes permet de conclure que (u ⁿ ) −→

+∞ 0

Total −→ points

Lycée Bertran de Born - DS 4 1 sur 2

TS Grille de correction DS 4 _2012-2013

E 3 Réponse Points Obtenus

1.a Arbre de probabilités

b b

A

1 6

b

B

1 4

b

B

3 4

b

5 A

6

b

B

2 5

b

B

3 5

1.b 1.c 2.a 2.b

2.c

Total −→ points

NOTE −→ 20 points

Lycée Bertran de Born - DS 4 2 sur 2