Exercice 1 Soit u : (x, y, z) ∈ R 3 7→ (2x + y + z, x 3 ) ∈ R 2 . On pose e 1 = (1, 1, 0), e 2 = (0, 2, 0) , e 3 = (0, 1, −1) et f 1 = (3, 1 3 ) , f 2 = (2, 0).

UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2007/2008

MIME 23/24 LM 125

Feuille d’exercices 5

Exercice 1 Soit u : (x, y, z) ∈ R ³ 7→ (2x + y + z, ^x ₃ ) ∈ R ² . On pose e 1 = (1, 1, 0), e 2 = (0, 2, 0) , e 3 = (0, 1, −1) et f 1 = (3, ¹ ₃ ) , f 2 = (2, 0).

Ecrire la matrice de u relativement aux bases (e) = (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) de R ³ et (f ) = (f ₁ , f ₂ ) de R ² .

Exercice 2 Inverser, lorsque cela est possible, les matrices





−3 2 −1

2 0 1

−1 2 1



 ,









1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1







 ,





a 0 0 b a 0 c b a



 .

D´ eterminants

Exercice 3 Calculer les d´ eterminants suivants :

1 1 1 a b a b a b

;

1 j j ² j ² 1 j

j j ² 1

, o` u j = e ^2iπ/3 ;

−2/3 2/3 1 1/3 1/3 −1/3 2/3 1/3 1/2

;

−4/3 4/3 0 3/2

−5/3 2 2/7 0

−2 7/3 −2/7 21/2 4/3 5/3 −18/7 −6

Exercice 4 Montrer que 11 divise

1 2 1 2 5 3 1 3 2

Montrer, sans calcul, que ∆(x) =

1 x x ² x 1 1 1 0 1 2 3 π 3 2 1 0

est un polynˆ ome de degr´ e 2 en x et est divisible par (x − 1) ² .

Exercice 5 Soit a, a ⁰ , b et b ⁰ des nombres complexes ; prouver l’´ egalit´ e (aa ⁰ + bb ⁰ ) ² + (ab ⁰ − ba ⁰ ) ² = (a ² + b ² )(a ⁰² + b ⁰² )

en consid´ erant les matrices

a b

−b a

et

a ⁰ −b ⁰ b ⁰ a ⁰

1

Valeurs propres, sous-espaces propres

Exercice 6 Soit l’endomorphisme f de R ³ canoniquement associ´ e ` a la matrice M =





1 1 0

−1 2 1 1 0 1



.

Le plan P d’´ equation y + z = 0 est-il stable par f ? La droite vect{(1, 1, 1)} est-elle stable par f ?

Exercice 7 Soient E un K-espace vectoriel, f et g des endomorphismes de E tels que f ◦ g = g ◦ f et P un polynˆ ome de K[X].

1. Montrer que P (g) et f commutent.

2. Montrer que le noyau et l’image de l’endomorphisme P (g) sont stables par f . Donner des cas particuliers de cette situation.

Exercice 8 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g ∈ L(E). Montrer que si λ est valeur propre de g ◦ f alors λ est valeur propre de f ◦ g (on distinguera les cas λ = 0 et λ 6= 0).

Exercice 9 Soit f ∈ L _R (E) telle que f ³ + f ² + f = 0 o` u E est un R -espace vectoriel de dimension finie et soit F = Im f.

1. (a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel stable par f.

(b) Montrer que Ker f ∩ Im f = {0}.

(c) En d´ eduire que la restriction g de f ` a F est un automorphisme de F . 2. (a) Montrer que si λ est une valeur propre de f alors λ = 0.

(b) En d´ eduire que le rang de f est pair (raisonner par l’absurde et ´ etudier les racines r´ eelles du polynˆ ome caract´ eristique de g).

Diagonalisation

Exercice 10 Soit m ∈ R et A m ∈ M 3 (R) la matrice





m 1 1

1 m 1

1 1 m



 .

1. Calculer les valeurs propres de A _m et une base de vecteurs propres.

2. D´ eterminer suivant les valeurs de m le rang de A _m . D´ eterminer lorsque cela est possible A ⁻¹ _m .

3. Lorsque A m n’est pas inversible d´ eterminer le noyau et l’image de A m . Exercice 11 Soit A =

1 4 2 3

. Trouver les valeurs propres de A et les sous-espaces propres correspondant. En d´ eduire une matrice inversible P telle que P ⁻¹ AP soit diago- nale.

2

Exercice 12 Soit A =





1 1 1 1 1 1 1 1 1



 . Trouver, sans calculer le polynˆ ome caract´ eristique, les valeurs propres de A. Cette matrice est-elle diagonalisable ?

Exercice 13 On note E = R ³ et B = {e ₁ , e 2 , e 3 } la base canonique de R ³ . On d´ efinit la matrice A =





16 4 −4

−18 −4 5

30 8 −7



.

On note u ∈ L(E) l’unique endomorphisme de E ayant A pour matrice dans la base B.

1. D´ eterminer le rang de la matrice A.

2. D´ eterminer une base de Ker u.

3. D´ eterminer Ker (u − id _E ).

On d´ efinit la matrice P =





1 0 −1

−2 1 1 2 1 −2



.

4. Montrer qu’il existe une base B ₂ = {u ₁ , u ₂ , u ₃ } de E telle que P = P B→B

(matrice de passage de B ` a B ₂ ).

5. Calculer explicitement la matrice D = M at B

(u).

6. Ecrire la relation entre A, D et P.

7. Calculer P ⁻¹ .

Exercice 14 Soit u l’endomorphisme de R ² de matrice A =

−1/2 0 1/3 1/2

dans la base canonique (b) = (b ₁ , b ₂ ) de R ² .

1. On pose e ₁ = −3b ₁ + b ₂ et e ₂ = b ₂ . Donner la matrice B de u relativement ` a la base (e) = (e 1 , e 2 ) et ´ ecrire A sous forme A = P B P ⁻¹ . Calculer A ⁿ pour tout entier relatif n.

2. On d´ efinit les suites (x n ) n et (y n ) n par x 0 = 1, y 0 = 2 et pour n ≤ 0 :

( x _n+1 = − ^x ₂

y n+1 = ^x ₃

+ ^y ₂

. On pose z n = x n + iy n . Monter que la suite (z n ) n converge dans C et pr´ eciser sa limite (utiliser (1) ou raisonner directement.)

Exercice 15 On d´ esigne par Id l’identit´ e de R ⁴ . Soit u l’endomorphisme de R ⁴ dont la matrice dans la base canonique (b) = (b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) est

M =









3 1 0 0

−4 −1 0 0

1 1 2 1

−3 −2 −1 0







 .

On pose f ₁ = (0, 0, 1, −1), f ₂ = (1, −2, 0, 1).

3

1. V´ erifier que (f 1 , f 2 ) est une base de Ker(u − Id), que (f) = (f 1 , f 2 , b 3 , b 1 − b 2 ) est une base de R ⁴ .

2. D´ eterminer la matrice de u dans la base (f ).

3. Montrer que M est semblable ` a une matrice B = I ₄ + N avec N ³ = 0 _M

_(R) t que B ^m = I 4 + mN + ^m(m−1) ₂ N ² pour tout entier m ∈ N ^∗ .

Exercice 16 Soit E = R 2 [X] l’espace vectoriel des polynˆ omes ` a coefficients r´ eels de degr´ e au plus deux, de base canonique e = (e <sub>0</sub> , e <sub>1</sub> , e <sub>2</sub> ) o` u e ₀ (X) = 1, e ₁ (X) = X, e ₂ (X) = X ² . On d´ efinit l’endomorphisme u de E par u(P )(X) = (X + 3)P

(X) ou P ⁰ est le polynˆ ome d´ eriv´ e de P .

1. Ecrire la matrice A de u dans la base e.

2. Trouver une matrice inversible M telle que M ⁻¹ AM = diag(0, 1, 2).

Exercice 17 Soit (e 1 , e 2 , e 3 ) une base de l’espace E ` a trois dimensions sur un corps K.

I _E d´ esigne l’application identique de E. On consid` ere l’application lin´ eaire f de E dans E telle que :

f (e ₁ ) = 2e ₂ + 3e ₃ , f (e ₂ ) = 2e ₁ − 5e ₂ − 8e ₃ , f(e ₃ ) = −e ₁ + 4e ₂ + 6e ₃ . 1. Etudier le sous-espace Ker (f − I E ) : dimension, base.

2. Etudier le sous-espace Ker (f ² + I E ) : dimension, base.

3. Montrer que la r´ eunion des bases pr´ ec´ edentes constitue une base de E. Quelle est la matrice de f dans cette nouvelle base et celle de f ² ?

Exercice 18 Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables de E, qui commutent (c’est ` a dire tels que u ◦ v = v ◦ u). On note λ ₁ , . . . , λ _p (resp. µ ₁ , . . . , µ _q ) les valeurs propres de u (resp. de v), et F 1 , . . . , F p les espaces propres associ´ es (resp. G 1 , . . . , G q ).

1. Montrer que chaque G j (resp. F i ) est stable par u (resp. v) (c’est ` a dire que u(G j ) ⊂ G j ).

2. On pose H ij = F i ∩ G j . Soit i ∈ {1, . . . , p}. Montrer que F i est la somme directe des espaces (H _ij ) 1≤j≤q .

3. Conclusion :

En d´ eduire que si deux endomorphismes diagonalisables u et v commutent, alors u et v sont diagonalisables simultan´ ement dans la mˆ eme base (i.e. il existe une base form´ ee de vecteurs propres communs ` a u et ` a v).

Exercice 19 Soit ρ l’application de R 4 [X] dans lui-mˆ eme qui ` a un polynˆ ome P associe le reste de la division euclidienne de P par (X ² − 1).

1. Montrer que ρ est lin´ eaire.

2. Montrer que ρ ² = ρ. En d´ eduire que ρ est diagonalisable.

3. D´ eterminer (de pr´ ef´ erence sans calcul) une base de vecteurs propres pour ρ.

4. G´ en´ eraliser : soit Q ∈ R [X], n ∈ N et ρ _Q ∈ L( R n [X]) : P 7−→ R, o` u R est le reste de la division euclidienne de P par Q.

Donner une base de vecteurs propres de ρ Q et matrice de ρ Q dans cette base

4