0 ⇔ z + 1 = 0 ou z2−4z+ 7 = 0 ⇔ z = −1(Cf.Q.a) ou z = 2 +i√ 3 ou z= 2−i√ 3 (∗).Ainsil'ensembledessolutionss'érit :S= −1

1. R.O.C:Soitz^{unnombreomplexequelonque.}z^{admetuneériturealgébriquedelaforme} x+ⁱy ^avex^et y^{deuxnombresréels.}

z=z⇔x+ⁱy=x−ⁱy⇔2ⁱy= 0⇔y= 0^.

⇔z=x⇔z ^réel.

2. Exerie1:

a.P(−1) = (−1)³−3×(−1)²+ 3×(−1) + 7 =... = 0^don −1 ^{est solutionde l'équation} P(z) = 0^{(end'autrestermes,}−1 ^{estrainedupolynme}P^).

b. En développant la fome de P(z) ^{proposée et en identiant à la forme de l'énoné, on}

trouve: ∀z∈C,P(z) =z³−3z²+ 3z+ 7 = (z+ 1)(z²−4z+ 7)^.

. P(z) = 0 ⇔ z + 1 = 0 ^ou z²−4z+ 7 = 0 ⇔ z = −1(Cf.Q.a) ^ou z = 2 +ⁱ√ 3 ^ou z= 2−ⁱ√

3 (∗)^{.Ainsil'ensembledessolutionss'érit :}S=

−1; 2 +ⁱ√

3; 2−ⁱ√ 3 ^.

(∗) ^{En eet, un alul du} disriminant :∆ = b²−4ac = (−4)²−4×1×7 = −12 ^per-

metd'armer quel'équation z²−4z+ 7 = 0 ^{admetdeuxsolutionsomplexes onjuguées:} z1=−b+ⁱ√

−∆

2a = 4 +ⁱ√ 12

2 = 2 +ⁱ√

3 ^etz2=z1= 2−ⁱ√ 3^.

3. Exerie2:

∗ 1 +ⁱ

√3 +ⁱ =

√2^eiπ4 2^eiπ6 =

√2 2 ×^e

i

π 4

e i

π 6

=

√2 2 ^e

i

π 12

donlemodule vaut

√2

2 ^etl'argument π 12[2π]^.

∗ (2ⁱ)(1−ⁱ) 3−3ⁱ√

3 = 2^eiπ2 ×

√2^e−iπ4 6^e−iπ3 =

√2 3 ^e

i

7π 12

donlemodulevaut

√2

3 ^etl'argument 7π 12[2π]^.

4. Exerie3:

LeplanomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldiretO;~u, ~v)^{Ononsidèrelespoints} A^,B^,C ^et P ^{d'axesrespetives:}

a=−2 b= 2−2ⁱ√

3 c= 3 + 3ⁱ√

3 p= 10

1.b.|b|²= 2²+ (−2√

3)²= 4 + 12 = 16^don|b|= 4^.

|c|²= 3²+ (3√

3)²= 9 + 27 = 36^don|c|= 6

1.a.et .

O ~u

~

b v

A(−2)

b

B(2−2ⁱ√ 3)

b

P(10)

b

C(3 + 3ⁱ√ 3)

b

Q(−4 + 4ⁱ√ 3)

b

R(−3−3ⁱ√ 3)

2.Caluldurapport:

b−p

c−p= 2−2ⁱ√ 3−10 3 + 3ⁱ√

3−10 = −8−2ⁱ√ 3

−7 + 3ⁱ√

3 =...=1 2 +ⁱ

√3 2 =^eiπ3.

Cequi peutenores'érire: b−p=^eiπ3(c−p)^.

End'autrestermes,onreonnaîtl'éritureomplexedelarotationdeentreP ^etd'angle π 3

quitransformelepointC ^enB^.

D'unpointdevuegéométrique,elasetraduitparlefaitqueletriangleBCP ^estéquiltéral.

3.rA ^{larotationdeente}A ^etd'angle π 3^.

3.a.L'éritureomplexederA ^est: z^′−a=^eiπ3(z−a)^. rA(C) =Q⇔q−a=^eiπ3(c−a)⇔q= (1

2+ⁱ

√3

2 )(3 + 3ⁱ√

3 + 2)−2 =...=−4 + 4ⁱ√ 3

3.b.Lavériationdeq=−2b ^estaisée:−2b=...=...=q^et −2b=q⇔ −2z⁻_OB^−→=z⁻_OQ^−→

⇔ z₋₂⁻_OB^−→ = z⁻_OQ^−→ ⇔ −2−−→

OB = −−→

OQ⇔ −−→

OB ^et −−→

OQ ^olinéaires ⇔ ^{les points} O, B ^et Q ^sont

alignés.

(Onpouvaitaussiutiliserl'éritureomplexed'unehomothétiedeentreOetderapport−2⁾

4.a.AxedupointR^:R ^{symétriquede}C ^parrapportàO^don−−→

OR=−−−→

OC

⇔z⁻_OR^−→=−z⁻_OC^−→⇔r=−c⇔r=−3−3ⁱ√ 3

4.b.L'axez^{′ del'imagede}R^parrA^vérie:z^′−a=^eiπ3(r−a)

⇔z^′ = (1 2 +ⁱ

√3

2 )(−3−3ⁱ√

3 + 2)−2 =... = 2−2ⁱ√

3 =b^{. On peut donarmerquele}

pointB ^estl'imagedeR^parrA^.

∗ rA(C) =Q rA(R) =B

⇔^{donl'imagedusegment}[CR]^{est lesegment}[BQ]^.

4..Grâeàlaquestionpréédente,onpeutdonendéduirequelessegments[CR] ^et[BQ]

sontdemêmelongueur(une rotationestuneisométrie:elleonserveleslongueurs)

DefaçonévidenteAP = 12^{.IlsutdealulerCRparexempleetonstaterqu'elleestégale}

à12.

CR=|r−c|=| −3−3ⁱ√

3−3−3ⁱ√

3|=| −6−6ⁱ√ 3|=

q

(−6)²+ (−6√

3)²=√

144 = 12^.

Onabien : AP =CR=BQ^.