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z′=z⇔ −z2 z−i =z⇔−z2=z(z−i)⇔2z2−iz=0⇔z(2z−i) =0⇔z=0ouz= i 2

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Texte intégral

(1)

EXERCICE 4 1) a)voir plus loin b)zK = −(1+i)2

(1+i) −i = −(1+2i−1) 1 = −2i.

zK = −2i.

a) et c)

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1

−1

−2

b

b

K

K

2) a)zL =

− i

2 2

i 2 −i

= 1/4

−i/2 = 1

−2i = 1 2 × i

(−i)i = i 2.

zL = i 2. En particulierL =Let donc le pointL est invariant parf.

b)Soitz∈C\ {i}.

z=z⇔ −z2

z−i =z⇔−z2=z(z−i)⇔2z2−iz=0⇔z(2z−i) =0⇔z=0ouz= i 2. Comme0et i

2 appartiennent àC\ {i},

fadmet exactement deux points invariants, les pointsOetL d’affixes respectives0et i 2. 3) Un procédé de construction.

a)Soitz∈C\ {i}.

g= 1

3(zA+z+z) = 1 3

i+z− z2 z−i

= (z+i)(z−i) −z2

3(z−i) = z2−i2−z2

3(z−i) = 1 3(z−i). Pour tout complexez∈C\ {i},g= 1

3(z−i).

b)Soientrun réel strictement positif etMun point du cercle de centreAet de rayonr. Alors|z−i|=ret en particulier, z6=i. De plus,

OG=|g|=

1 3(z−i)

= 1

3|z−i| = 1 3r. DoncGappartient au cercle de centreOet de rayon 1

3r.

http ://www.maths-france.fr 6 c Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.

(2)

c)Soitz∈C\ {i}.

arg(g) =arg

1

3(z−i)

= −arg(3(z−i)) = −arg(z−i) = −−→u ,−−AM→ .

arg(g) = −

→u ,−−→ AM

.

d) Ici r = 1

2. On construit alors G. G est sur le cercle de centre O et de rayon 1 3r = 2

3 = 4

6 ce qui correspond à 4 graduations. D’autre part,

→u ,−−OG→

= −

→u ,−−AD→ .

I A

Db

b b

b

b

G C B

D

Il reste à construire le pointD tel queGsoit le centre de gravité du triangleADD. On noteBle milieu du segment[AD]

puisCle milieu du segment[BG]. On sait alors que −−→ BD= 3

2

−→

BGou encore−−→

GD=−CG→ ou enfinD est le symétrique de Cpar rapport àG.

http ://www.maths-france.fr 7 c Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.

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