EXERCICE 4 1) a)voir plus loin b)zK′ = −(1+i)2
(1+i) −i = −(1+2i−1) 1 = −2i.
zK′ = −2i.
a) et c)
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1
−1
−2
b
b
K
K′
2) a)zL′ =
− i
2 2
i 2 −i
= 1/4
−i/2 = 1
−2i = 1 2 × i
(−i)i = i 2.
zL′ = i 2. En particulierL′ =Let donc le pointL est invariant parf.
b)Soitz∈C\ {i}.
z′=z⇔ −z2
z−i =z⇔−z2=z(z−i)⇔2z2−iz=0⇔z(2z−i) =0⇔z=0ouz= i 2. Comme0et i
2 appartiennent àC\ {i},
fadmet exactement deux points invariants, les pointsOetL d’affixes respectives0et i 2. 3) Un procédé de construction.
a)Soitz∈C\ {i}.
g= 1
3(zA+z+z′) = 1 3
i+z− z2 z−i
= (z+i)(z−i) −z2
3(z−i) = z2−i2−z2
3(z−i) = 1 3(z−i). Pour tout complexez∈C\ {i},g= 1
3(z−i).
b)Soientrun réel strictement positif etMun point du cercle de centreAet de rayonr. Alors|z−i|=ret en particulier, z6=i. De plus,
OG=|g|=
1 3(z−i)
= 1
3|z−i| = 1 3r. DoncGappartient au cercle de centreOet de rayon 1
3r.
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c)Soitz∈C\ {i}.
arg(g) =arg
1
3(z−i)
= −arg(3(z−i)) = −arg(z−i) = −−→u ,−−AM→ .
arg(g) = −
−
→u ,−−→ AM
.
d) Ici r = 1
2. On construit alors G. G est sur le cercle de centre O et de rayon 1 3r = 2
3 = 4
6 ce qui correspond à 4 graduations. D’autre part,
−
→u ,−−OG→
= −
−
→u ,−−AD→ .
I A
Db
b b
b
b
G C B
D′
Il reste à construire le pointD′ tel queGsoit le centre de gravité du triangleADD′. On noteBle milieu du segment[AD]
puisCle milieu du segment[BG]. On sait alors que −−→ BD′= 3
2
−→
BGou encore−−→
GD′=−CG→ ou enfinD′ est le symétrique de Cpar rapport àG.
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