TS 8 DS 3 : D´erivabilit´e et fonctions trigo 17 novembre 2015 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (15 minutes) (3 points) Seule la formule donnant la d´eriv´ee du produit de deux fonctions d´erivables et la d´eriv´ee de x sont suppos´ees connues.
On a ´enonc´e ci-dessous deux propositions d´esign´ees par P et Q. Dire pour chacune d’elles si vraie ou fausse et justifier.
Dans cet exercicend´esigne un entier naturel strictement sup´erieur `a 1.
1. P : Soit f la fonction d´efinie sur Rpar f(x) =xn; alors f est d´erivable sur R, de d´eriv´ee f0 donn´ee sur Rpar : f0(x) =nxn−1.
2. Q : Soituune fonction d´erivable surRet soit f la fonction d´efinie surRparf =un; alorsf est d´erivable sur R, de d´eriv´eef0 donn´ee par f0=nun−1.
Exercice 2 : Exercices classiques (35 minutes) (6 points)
1. R´esoudre les ´equations suivantes sur [0; 2π] :
(a) cos(x) = 12 (b) sin(3x) =−√23 (c) 2 sin2(x)−3 sin(x) + 1 = 0 2. D´eriver les fonctions suivantes sans vous occuper de l’ensemble de d´erivabilit´e :
(a) f(x) = sin(2x+ 5) (b) g(x) = cos5(x) (c) h(x) = 1
cos3(4x) 3. Donner les formules de cos(a+b) et sin(a+b), puis utiliser les pour retrouver les valeurs de cos π2 +x
et sin π2+x 4. Montrer quef d´efinie parf(x) = cos(x)
sin(x)− sin(x)
cos(x) est p´eriodique de p´eriode π2 sur son domaine de d´efinition.
Exercice 3 : Probl`eme (40 minutes) (6 points)
On consid`ere la fonctionf d´efinie pour tout r´eelxd’un ensembleDf par :f(x) = x
√x2−1. SoitC la courbe repr´esentantf dans un rep`ere (O;~i;~j).
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinitionDf puis l’ensemble de d´erivabilit´e def. 2. (a) D´eterminer lim
x→1;x>1f(x).puis lim
x→+∞f(x).
(b) Que peut-on d´eduire graphiquement de ces r´esultats.
3. (a) Justifier que pour tout r´eel xde ]1; +∞[, on a :f0(x) = −1 (x2−1)√
x2−1. (b) Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur ]1; +∞[
(c) En d´eduire que f(x) = 2 admet une unique solution sur ]1; +∞[
4. (a) ´Etudier la parit´e def.
(b) En d´eduire le tableau de variations def surDf. 5. D´eterminer l’´equation r´eduite de la tangente `af en 2.
6. Soitg la fonction d´efinie, pour tout r´eelxdeDf par :g(x) =√ x2−1 (a) Montrer queg est une primitive def.
(b) D´eterminer la primitiveF telle queF(2) = 0
Exercice 4 : Probl`eme semi-ouvert (30 minutes) (5 points)
Un lapin d´esire traverser une route de 4 m`etres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive `a sa rencontre `a la vitesse de 60 km/h. Le lapin d´ecide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’`a 7 m`etres de lui. Son d´emarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la travers´ee en ligne droite au maximum de ses possibilit´es, c’est `a dire `a . . . 30 km/h ! L’avant du camion est repr´esent´e par le segment [CC0] sur le sch´ema ci-contre.
Le lapin part du point A en direction de D.
Cette direction est rep´er´ee par l’angleθ=BAD avec 0[ 6θ < π
2 (en radians).
1. D´eterminer les distances AD et CD en fonction de θ et les tempst1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.
2. On posef(θ) = 7
2+ 2 tanθ− 4 cosθ.
Montrer que le lapin aura travers´e la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ)>0.
3. Conclure.
Rappel :
La fonctionx7→tanxest d´erivable surh 0 ; π
2
het a pour d´eriv´ee la fonctionx7→ 1 cos2(x)
4m
C′A CBD
θ 7mCamion
