MG2 – Logiciels scientifiques – Automne 2011 TP MAPLE n
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1. Polynˆ omes
Soient les polynˆomesA=X7−11X3+ 5 etB =X3+ 7X+ 1. On cherche un polynˆomeP ∈ Q[l X] de degr´e 9 tel queP+ 1 soit divisible parAetP+ 2 soit divisible parB.
Premi`ere m´ethode : prendre P arbitraire, traduire le probl`eme en ´equations (utiliserremet coeffs) et r´esoudre.
Seconde m´ethode : D´eterminerU etV ∈ Q[l X] tels que AU+BV = 1 (utilisergcdex) et conclure.
2. Polynˆ omes (bis)
SoientP ∈Q[l X] un polynˆome de degr´en≥2 etr1, . . . , rn sesnracines dans lC. Le but de l’exercice est de trouver un polynˆomeQ∈ Q[l X] dont les racines sont les n(n−1)2 nombresri+rj o`u 1≤i < j≤n. 1. On prend d’abordP =X5−3X3+ 2X2−1.
a) Maple peut-il calculer les cinq racinesr1, . . . , r5 de ce polynˆome ? b) Evaluer l’expressionproduct(X-r,r=RootOf(P,X)).
c) En s’inspirant de b), trouver un polynˆome P1 dont les racines sont les 25 nombres ri +rj o`u 1≤i≤5 et 1≤j≤5, puis un polynˆomeP2 dont les racines sont les 5 nombres 2ri o`u 1≤i≤5.
d) En d´eduire le polynˆomeQcherch´e (utiliserpsqrt).
2. Donner l’expression g´en´erale de Qpour P polynˆome unitaire arbitraire de degr´e 5.
3. Formule d’approximation de la d´ eriv´ ee
On cherche cinq nombresa1, . . . , a5tels que, pour toute fonction num´eriquef suffisamment r´eguli`ere et tout pointx0, on ait (lorsquehest petit) :
f(x0)≈5
k=1
akf(x0+kh)−f(x0−kh)
h (1)
1. On notey le membre de droite de (1). D´evelopper formellement l’expressiony−f(x0) partaylor`a l’ordre 10 au voisinage deh= 0.
2. Trouver les valeurs dea1, . . . , a5 qui annulent un maximum de coefficients de ce d´eveloppement.
3. Testernum´eriquement la pr´ecision de la formule (1) obtenue (par exemple avec la fonction sinus en x0= 1).
4. D´ eveloppement asymptotique
Pourn∈IN, on notexn l’unique solution de l’´equationx= tanxappartenant `a l’intervalle [nπ, nπ+π2].
Montrer que :
n→∞lim(xn−nπ) =π 2.
Calculer un d´eveloppement asymptotique d’ordre 5 dexn quand n→ ∞. Indication : on cherchera un d´eveloppement de la forme :
xn=n π+π 2 +a
n + b n2 + c
n3 + d n4 + e
n5 + o( 1 n5) et on d´eterminera les coefficientsa, b, c, d, een se servant de l’´equationxn= tanxn.
