Chapitre 5 - Applications de la d´eriv´ee

(1)

GYMNASE DE BURIER

Chapitre 5 - Applications de la d´eriv´ee

Sarah D´ egallier Rochat

(2)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

On cherche une droite d’´equation y=mx+h passant par le pointP(1, f(1)).

On commence par calculer la deuxi`eme coordonn´ee du point :

f(1)

= 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10

Le point a donc pour coordonnées(1;−10) La dérivée de la fonction nous donne la pente de la tangente. On a donc

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(3)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1)

= 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(4)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1)

= 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(5)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1)

= 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(6)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1)

= 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10 Le point a donc pour coordonnées(1;−10) La dérivée de la fonction nous donne la pente de la tangente. On a donc

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(7)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√ 1−10

= 1−1−10 =−10 Le point a donc pour coordonnées(1;−10) La dérivée de la fonction nous donne la pente de la tangente. On a donc

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(8)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(9)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10 Le point a donc pour coordonn´ees(1;−10)

La d´eriv´ee de la fonction nous donne la pente de la tangente. On a donc

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(10)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√

1−10 = 1−1−10 =−10 Le point a donc pour coordonnées(1;−10) La dérivée de la fonction nous donne la pente de la tangente.

On a donc f⁰(x) = [x²−√

x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(11)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√

f⁰(x) = [x²−√ x−10]⁰

= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(12)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√

f⁰(x) = [x²−√

x−10]⁰= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(13)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√

f⁰(x) = [x²−√

x−10]⁰= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x 2x

= 4x²−√ x 2x

(14)

1. Tangentes

Exemple 1.1 (Tangente en un point) Soit f (x) = x

²

− √ x − 10.

D´ eterminer l’´ equation de la tangente ` a la courbe au point d’abscisse x = 1.

x y

1 1

f(x)

(1 ;-10)

f(1) = 1²−√

f⁰(x) = [x²−√

x−10]⁰= 2x− 1 2√ x

= 2x−

√x

2x = 4x²−√ x 2x

(15)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1)

= 4 − 1 2 = 3

2 .

On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h

− 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(16)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2

.

On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h

− 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(17)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 .

On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h

− 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(18)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h

− 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(19)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h

− 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(20)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h

− 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(21)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h − 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(22)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h − 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h

CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(23)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h − 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(24)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h − 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(25)

On ´ evalue la d´ eriv´ ee en x = 1 pour trouver la pente de la tangente en ce point : f

⁰

(1) = 4 − 1

2 = 3 2 . On a donc m = 3

2 et donc y = 3 2 x + h.

On sait que la droite passe par le point (1; −10), on peut donc remplacer dans l’´ equation :

−10 = 3

2 · 1 + h − 3 2

⇔ − 20 2 − 3

2 = h CN

⇔ − 23

2 = h

L’´ equation de la tangente est donc donn´ ee par y = 3 2 x − 23

2 .

(26)

Esquisser la tangente trouv´ ee sur le graphique ci-dessous.

x y

1 1 f(x) =x²−√

x−10

(1 ;-10)

y= 3 2x−23

2

(27)

Esquisser la tangente trouv´ ee sur le graphique ci-dessous.

x y

1 1 f(x) =x²−√

x−10

(1 ;-10)

y= 3 2x−23

2

(28)

Esquisser la tangente trouv´ ee sur le graphique ci-dessous.

x y

1 1 f(x) =x²−√

x−10

(1 ;-10)

y= 3 2x−23

2

(29)

Esquisser la tangente trouv´ ee sur le graphique ci-dessous.

x y

1 1 f(x) =x²−√

x−10

(1 ;-10)

y= 3 2x−23

2

(30)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

La pente de la tangente en un point étant donné par la dérivée en ce point, nous cherchons les valeurs pour lesquellesf⁰(x) = 7.

On commence donc par calculerf⁰(x):

f⁰(x) = [x³−5x+ 2]⁰

= 3x²−5

On r´esoud donc l’´equationf⁰(x) = 7: 3x²−5 = 7

−7

⇔ 3x²−12 = 0

M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

La dérivée vaut donc 7 quandx=−2 oux= 2.On cherche la deuxième coordonnée de ces points :

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(31)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

La pente de la tangente en un point étant donné par la dérivée en ce point, nous cherchons les valeurs pour lesquellesf⁰(x) = 7.

On commence donc par calculerf⁰(x):

f⁰(x) = [x³−5x+ 2]⁰

= 3x²−5

−7

⇔ 3x²−12 = 0

M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(32)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

La pente de la tangente en un point étant donné par la dérivée en ce point, nous cherchons les valeurs pour lesquellesf⁰(x) = 7. On commence donc par calculerf⁰(x):

f⁰(x) = [x³−5x+ 2]⁰

= 3x²−5 On r´esoud donc l’´equationf⁰(x) = 7:

3x²−5 = 7

−7

⇔ 3x²−12 = 0

M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(33)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

f⁰(x) = [x³−5x+ 2]⁰ = 3x²−5

−7

⇔ 3x²−12 = 0

M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(34)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

f⁰(x) = [x³−5x+ 2]⁰ = 3x²−5 On r´esoud donc l’´equationf⁰(x) = 7:

3x²−5 = 7

−7

⇔ 3x²−12 = 0

M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(35)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0

M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(36)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0

M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(37)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(38)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0

P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(39)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(40)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0

⇒S={−2,2} La dérivée vaut donc 7 quandx=−2 oux= 2.On cherche la deuxième coordonnée de ces points :

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(41)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(42)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

La d´eriv´ee vaut donc 7 quandx=−2 oux= 2.

On cherche la deuxi`eme coordonn´ee de ces points :

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P1(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(43)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P₁(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(44)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2)

= 2³−5·2 + 2 = 0⇒P₁(2,0) x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(45)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2) = 2³−5·2 + 2

= 0⇒P₁(2,0) x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(46)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2) = 2³−5·2 + 2 = 0

⇒P₁(2,0) x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(47)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2) = 2³−5·2 + 2 = 0⇒P₁(2,0)

x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P2(−2,4)

(48)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2) = 2³−5·2 + 2 = 0⇒P₁(2,0) x=−2⇒y=f(−2)

= (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P₂(−2,4)

(49)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2) = 2³−5·2 + 2 = 0⇒P₁(2,0) x=−2⇒y=f(−2) = (−2)³−5·(−2) + 2

= 4⇒P₂(−2,4)

(50)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2) = 2³−5·2 + 2 = 0⇒P₁(2,0) x=−2⇒y=f(−2) = (−2)³−5·(−2) + 2 = 4

⇒P₂(−2,4)

(51)

Exemple 1.2 (Tangente de pente donn´ ee) Soit la fonction f(x) = x

³

− 5x + 2. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut 7. Calculer l’´ equation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique.

3x²−5 = 7 −7

⇔ 3x²−12 = 0 M EE

⇔ 3(x²−4) = 0 P R

⇔ 3(x−2)(x+ 2) = 0 ⇒S={−2,2}

x= 2⇒y=f(2) = 2³−5·2 + 2 = 0⇒P₁(2,0)

x=−2⇒y=f(−2) = (−2)³−5·(−2) + 2 = 4⇒P₂(−2,4)

(52)

x y

1 1

7

On calcule l’´equation y=mx+hde la tangente au pointP1(2,0).

On sait que la pente vaut 7, on a donc

0 = 7·2 +h

−14,↔ h = −14

La tangente au point P1(2,0) est donc d’´equationy= 7x−14.

On calcule l’´equation y = mx+h de la tangente au pointP2(−2,4).

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

La tangente au point P₁(−2,4) est donc d’´equationy= 7x+ 18.

(53)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h

−14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(54)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h

−14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(55)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h

−14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(56)

x y

1 1

7

On calcule l’´equation y=mx+hde la tangente au pointP1(2,0). On sait que la pente vaut 7, on a donc

0 = 7·2 +h

−14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(57)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔

h = −14

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(58)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(59)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

La tangente au point P1(2,0) est donc d’´equation y= 7x−14.

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(60)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

La tangente au point P1(−2,4) est donc d’´equationy= 7x+ 18.

(61)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

On calcule l’´equation y = mx+h de la tangente au pointP2(−2,4). On sait que la pente vaut 7, on a donc

4 = 7·(−2) +h

+ 14,↔ h = 18

(62)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h + 14,↔

h = 18

(63)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h + 14,↔ h = 18

(64)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h + 14,↔ h = 18

La tangente au point P1(−2,4) est donc d’´equation y= 7x+ 18.

(65)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h + 14,↔ h = 18

(66)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h + 14,↔ h = 18

(67)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h + 14,↔ h = 18

(68)

x y

1 1

7

0 = 7·2 +h −14,↔ h = −14

4 = 7·(−2) +h + 14,↔ h = 18

(69)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4)

T1

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence.

On a f(a) =

a

²

− 1 ⇒ T (a, a

²

− 1)

.

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(70)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4)

T1

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence.

On a f(a) =

a

²

− 1 ⇒ T (a, a

²

− 1)

.

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(71)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4) T1

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence.

On a f(a) =

a

²

− 1 ⇒ T (a, a

²

− 1)

.

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(72)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4) T1

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence.

On a f(a) = a

²

− 1

⇒ T (a, a

²

− 1)

.

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(73)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4) T1

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence.

On a f(a) = a

²

− 1

⇒ T (a, a

²

− 1)

.

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(74)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4) T1(a, a²−1)

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence.

On a f(a) = a

²

− 1

⇒ T (a, a

²

− 1)

.

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(75)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4) T1(a, a²−1)

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence. On a f(a) = a

²

− 1

⇒ T (a, a

²

− 1)

.

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(76)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4) T1(a, a²−1)

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence. On a f(a) = a

²

− 1 ⇒ T (a, a

²

− 1).

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1

La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a

(77)

Exemple 1.3 (Tangente par un point ext´ erieur) Soit f (x) = x

²

− 1 une fonction. Trouver toutes les tangentes ` a cette fonction passant par P (1, −4).

x y

1 1

P(1,−4) T1(a, a²−1)

T2(b, b²−1)

Soit T(a, f(a)) le point de tan- gence. On a f(a) = a

²

− 1 ⇒ T (a, a

²

− 1).

On calcule la pente de la droite m

=

a²−1

− (−4)

a

−

1

= a

²

+ 3 a − 1 La pente m correspond ` a la d´ eriv´ ee de la fonction f au point a (m = f

⁰

(a)) :

f

⁰

(x) = [x

²

−1]

⁰

= 2x ⇒ f

⁰

(a) = 2a