F ONCTION D ´ ERIV ´ EE

Savoirs et savoirs-faire

F ONCTION D ´ ERIV ´ EE

n Calculer la fonction d´ eriv´ ee d’une fonction de degr´ e 3 Exemple

f (x) = x

− 9x

− 120x + 50

f

(x) = 3x

−9× 2x −120× 1 +0 Donc : f

(x) = 3x

− 18x − 120

n Etudier le signe de la fonction d´ ^´ eriv´ ee Exemple

f

(x) = 3x

− 18x − 120

On calcule le discriminant ∆ :

∆ = b

− 4ac = (−18)

− 4 × 3 × (−120) = 1764 x

= −b − √

∆

2a = 18 − √ 1764

6 = 18 − 42 6 = −4 x

= −b + √

∆

2a = 18 + √ 1764

6 = 18 + 42 6 = 10 On en d´ eduit le tableau de variation de f

Signe de a (donc signe + ) ` a l’ext´ erieur des valeurs −4 et 10 x

Signe de f

(x) Variations de f

−∞ −4 10 +∞

+ 0 − 0 +

322 322

−1050

−1050

n Lire graphiquement un nombre d´ eriv´ e Exemple

−1 1 2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6 7

0

+1 1 +3

f

(4) est le coefficient directeur de la tan- gente au point d’abscisse 4 de la courbe.

Pour lire graphiquement cette valeur, on construit le triangle de pente .

Ici : f

(4) = 3

n ^D´ eterminer l’´ equation d’une tangente Question

la courbe ci-contre repr´ esente la fonction f d´ efinie par f (x) = − 1

3 x

+ 2x

− 3x − 5 3 . On souhaite repr´ esenter graphiquement la tangente ` a la courbe au point d’abscisse 4 et d´ eterminer l’´ equation de cette tangente

−1 1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8 0

n Calcul de la fonction d´ eriv´ ee : f

(x) = − 1

3 × 3x

+2× 2x −3×

1 − 0

Donc : f

(x) = −x

+ 4x − 3 n calcul du nombre d´ eriv´ ee en 4 :

f

(4) = −4

+4×4−3 = −16+16−3 =

−3

n trac´ e de la tangente :

On se place au point d’abscisse 4 sur la courbe puis on construit une droite de coefficient directeur −3 .

( on avance de 1 , on descend de 3 ) n Equation de la tangente : ´

Le coefficient directeur de la tangente

´ etant −3 , l’´ equation de la tangente est de la forme :

y = −3x + b

Puisque b = y + 3x, il suffit d’ utiliser le point de tangence (4, −3) :

b = −3 + 3 × 4 = 9

l’´ equation est donc : y = −3x + 9

L ES TAUX D ’´ EVOLUTION

n ^D´ eterminer un taux r´ eciproque Exemple

On passe d’une quantit´ e V

` a la quantit´ e V

en augmentant de 30% . Le coefficient multiplicateur est donc : 1, 30

le coefficient multiplicateur pour passe de V

` a V

est donc ´ egale ` a 1

1, 30 ( ´ equivalent ` a : 1, 30

V ₁ V ₂

×1, 30

: 1, 30

Or 1

1, 30 ≈ 0, 77.

Et la relation entre le coefficient multiplicateur C et le taux t est :

Coef f multiplicateu = 1 + taux De qui donne :

taux = Coef f multiplicateur − 1

Le taux r´ eciproque est donc : t

= 0, 77 − 1 = −0.23

Conclusion : une hausse de 30% est compens´ ee par une baisse de 23%

n ^D´ eterminer un taux moyen Exemple 1

On consid` ere une s´ erie de 4 ´ evolutions successives d’une valeur y On connaˆıt la valeur initiale 120, 45 et la valeur finale 180, 25

120, 45 y ₂ y ₃ y ₄ 180, 25

n On calcule le taux d’´ evolution globale : T = 180, 25 − 120, 45

120, 45 ≈ 0, 49 ≈ 49%

n Le coefficient multiplicateur pour passer de 120, 45 ` a 180, 25 est alors ´ egal ` a :

C _global= 1 + 0, 49 = 1, 49

(En effet : ´ Evoluer de t% revient ` a multiplier par 1 + t 100 ).

n Le taux moyen est alors ´ egal ` a : t _m = p

1, 49 − 1 ≈ 0, 10 ou

t m = (1, 49) 1 4 − 1

n Conclusion : quatre augmentations successives de 10% permettent de passer de

la valeur 120, 45 ` a la valeur180, 25

Exemple 2

On consid` ere une s´ erie de 5 ´ evolutions successives d’une valeur y

On connaˆıt les taux d’´ evolutions successifs : t ₁ = +17% ; t ₂ = +20% ;

t ₃ = −10%% ; t ₄ = +15%% ; t ₅ = +20%

y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ y ₆

×1, 17 ×1, 20 ×0, 90 ×1, 15 ×1, 20

n On calcule le coefficient multiplicateur global pour passer de y

` a y

:

C _global = 1, 17 × 1, 20 × 0, 90 × 1, 15 × 1, 20 ≈ 1, 74

n Le taux moyen est alors ´ egal ` a : t m = p

1, 74 − 1 ≈ 1, 12

ou t _m = (1, 74) 1

5 − 1 ≈ 1, 12

n Conclusion : cinq augmentations successives de 12% sont ´ equivalentes aux aug-

mentations successives donn´ ees plus haut.

PROBABILIT ´ ES CONDITIONNELLES

Arbre de probabilit´ es

Sur un arbre de probabilit´ e, on lit les probabi- lit´ es suivantes :

Rappel : P A (B) est la probabilit´ e que l’´ ev´ enement B soit r´ ealis´ e sachant que A est r´ ealis´ e.

C’est ` a dire la proportion de B dans A.

Ω

A

B P

(B )

B P

(B ) P (A)

A

B P

(B )

B P

(B )

P (A)

Utilisation d’un arbre de probabilit´ e

n On obtient la probabilit´ e de l’intersection de deux ´ ev´ enements A et B en multipliant les probabilit´ es des branches qui passent par A et B.

P (A ∩ B) = P (A) × P _A (B)

n On obtient la probabilit´ e d’un ´ ev´ enement B en additionnant les probabilit´ es de toutes les branches qui m` enent ` a B :

P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B)

n Pour ” inverser” les probabilit´ es conditionnelles on utilise la formule :

P _B (A) = P (A ∩ B) P (B)

Tableau de probabilit´ es

Dans un tableau les probabilit´ es conditionnelles n’apparaissent pas directement.

Il faut ´ etablir un calcul Par exemple :

P _B (A) = P (A ∩ B)

P (B)