Fonction d´ eriv´ ee : application

Cours Premi`ere S2

Fonction d´ eriv´ ee : application

´E

Le fait que, par exemple, la fonction d´eriv´ee soit positive sur toute un intervalle conduit la fonction

`

a avoir une ”pente” positive en tout point de cet intervalle et par cons´equent `a ˆetre croissante : De mˆeme, une fonction d´eriv´ee n´egative sur un intervalle donne des tangentes d´ecroissantes donc une fonction d´ecroissante.

Plus pr´ecis´ement on a : Introduction

Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I.

n Si pour toutx de I f⁰(x)>0 alors f est croissante surI n Si pour toutx de I f⁰(x)<0 alors f est d´ecroissante sur I n Si pour toutx de I f⁰(x) = 0 alors f est constante surI Propri´et´e ( ADMISE)

M´ethode : ´Etudier les variations

n On d´etermine l’ensemble de d´efinition et de d´erivabilit´e def puis on calculef⁰(x).

n On ´etudie le signe def⁰(x).

n On en d´eduit les variations def et on r´esume le tout dans un tableau . M´ethode

D´eterminer les variations de la fonction f d´efinie par : f(x) = x³

6 −x² 4 −x.

f est d´efinie et d´erivable sur Ret pour tout r´eelx, on a : f⁰(x) = x²

2 −x 2 −1.

f⁰ est une fonction polynˆome du second degr´e et ses racines sont−1 et 2.

Le trinˆome du second degr´e est donc du signe de 1

2 `a ”l’ext´erieur” des racines −1 et 2.

D’o`u le signe de f⁰(x) et les variations def : x

f⁰(x) f

−∞ −1 2 +∞

+ 0 − 0 +

7 12

7

12 −5

−35 3

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Pour compl´eter le tableau, on calcule :

— f(−1) =−1 6 −1

4 + 1 = −2−3 + 12

12 = 7

12

— f(2) = 8

6 −1−2 = 4

3 −3 =−5 3

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E

1 On dit quef admet un maximum local(respectivement minimum local) enas’il existe un intervalle ouvertJ et contenantatel que, pour toutx∈J :f(x)≤f(a) (respectivement f(x)≥f(a)).

2 Dire qu’une fonction admet unextremum localsignifie quef admet un maximum local ou un minimum local.

D´efinition

Remarque

Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme ]α ; β[ o`u αet β sont deux r´eels tels que α < β.

Exemple

La fonctionf repr´esent´ee ci-dessous est d´efinie sur I = [−1 ; 2].

1 f admet un maximum local ena= 0.

En effet, prenonsJ =]−0,5 ; 0,5[ pour lequel on a bien 0∈J ⊂I et pour toutx∈J,f(x)≤1.

2 f admet un minimum local ena= 1.

En effet, prenons J =]0,5 ; 1,5[ pour lequel on a bien 1∈J ⊂I et pour toutx∈J,f(x)≥ 1

2.

3 On ne peut pas dire quef admet un maximum local ena= 2 car on ne peut pas trouver d’intervalle ouvert contenantaet contenu dansI.

Soitf une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI eta∈I.

Sif admet un extremum local en a, alorsf⁰(a) = 0.

Propri´et´e ( ADMISE)

Remarque

La r´eciproque de cette propri´et´e est fausse. Prenons par exemple la fonction cube, d´efinie sur Rparf(x) =x³. Sa fonction d´eriv´ee,f⁰:x7→3x²s’annule en 0 mais pourtant f n’admet pas d’extremum en 0 puisque f est strictement croissante surR.

Soitf une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI eta∈I.

Sif⁰ s’annule en changeant de signe ena, alorsf admet un extremum local en a.

Propri´et´e ( ADMISE)

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