Propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee

Chapitre 3

Propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee

Le calcul de la fonction d´ eriv´ ee ` a l’aide de la d´ efinition donn´ ee au chapitre pr´ ec´ edent est laborieuse, mˆ eme pour des fonctions d´ efinies par des expressions alg´ ebriques simples. Heureusement, il est possible

d’alg´ ebriser

le calcul de la d´ eriv´ ee, c’est-

`

a-dire d’identifier des propri´ et´ es qui permettent de calculer directement ` a partir de d´ efinition alg´ ebrique de la fonction ` a d´ eriver et sans utiliser la d´ efinition. On d´ emontrera dans ce chapitre un certain nombre de propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee qui, prise ensemble, permettent de d´ eterminer la d´ eriv´ ee d’une fonction en appliquant des

«

formules de d´ erivation

(ou

r` egles de d´ erivation

Ces propri´ et´ es ont ´ et´ e d´ ecouvertes au fil du temps par plusieurs math´ ematiciens qui travaillaient sur diff´ erents probl` emes allant du calcul d’aires d´ elimit´ ees par des courbes alg´ ebriques ` a la d´ etermination de minimums et maximums li´ es ` a des probl` emes de g´ eom´ etrie. C’est ` a Newton et Leibniz que l’on doit d’avoir su les pr´ esenter de mani` ere syst´ ematique pour la premi` ere fois et d’avoir ´ etablit le lien entre le calcul d’aire et la d´ eriv´ ee.

Dans ce qui suit, nous chercherons ` a ´ etablir un certain nombre de propri´ et´ es alg´ e- briques de la d´ eriv´ ee qui peuvent servir ` a la d´ etermination des fonctions d´ eriv´ ees sans utiliser la d´ efinition donn´ ee au dernier chapitre, mais plutˆ ot en la calculant directement ` a partir de l’expression alg´ ebrique d´ efinissant la fonction ` a d´ eriver.

3.1 Preuves graphiques

Pour simplifier, nous utiliserons parfois des preuves graphiques comme d´ emonstration de certaines propri´ et´ es de la d´ eriv´ ee. Pour donner un avant-goˆ ut de ce genre d’argu- ment, voici une preuve alg´ ebrique et une preuve graphique du fait que la d´ eriv´ ee de la fonction y = x

est y

= 2x.

Proposition 3.1.

d(x

)

dx = 2x.

preuve alg´ ebrique.

d x

dx = (x + dx)

x

dx

= (x

+ 2xdx + dx

)

x

dx

= 2xdx + dx

dx

= dx(2x + dx) dx

= 2x + dx

≈

2x car dx

tr` es petit quand dx est petit

On peut g´ en´ eralement obtenir g´ eom´ etriquement l’expression de dy ` a partir de relations g´ eom´ etriques. Cette mani` ere de faire est fr´ equente en physique. Elle permet aussi de mieux comprendre pourquoi certaines quantit´ es peuvent ˆ etre n´ eglig´ ees.

preuve g´ eom´ etrique. La diff´ erentielle dy est l’aire de la r´ egion en gris dans le graphique suivant : c’est l’´ ecart entre un carr´ e de cˆ ot´ e x et un carr´ e de cˆ ot´ e x + dx. Quand dx est tr` es petit, l’aide du petit carr´ e dx

est n´ eglig´ ee.

x x

dx dx

x

dx² xdx

xdx

On peut voir dans ce graphique que

dy = xdx + xdx + dx

2x dx.

Ainsi,

dy

dx = 2x dx

dx = 2x.

Proposition 3.2. La d´ eriv´ ee de la fonction racine carr´ ee est d

dx

√

x

= 1 2

x

D´ emonstration.

d

x dx =

√

x + dx

x dx

=

√

x + dx

x dx

√

x + dx +

√

x

x + dx +

x

= (x + dx)

x dx(

x + dx +

x)

= 1

√

x + dx +

x

≈

1

√

x +

x

= 1 2

x car

x + dx

x si dx tr` es petit.

Preuve graphique. si x est l’aire d’un carr´ e, alors le cˆ ot´ e est y =

x. Si l’aire du carr´ e change de x ` a x + dx (donc varie de la partie en gris dx), alors la variation approximative dy du cˆ ot´ e du carr´ e est approximativement dy =

x + dx

x.

y dy

dy

y

√

x + dx

√

x

x

D’apr` es la figure, l’aire dx (en gris) peut s’´ ecrire comme dx = ydy + ydy + dy

Si on n´ eglige dy

qui est tr` es petit par rapport ` a dy, on trouve dx = 2ydy,

donc, en isolant,

dy = 1 2y dx.

Enfin, comme y =

x, on doit avoir que dy = 1

2

x dx.

Proposition 3.3. Si y =

, alors

dy =

1 x

dx.

D´ emonstration.

dy dx =

1 x+dx−¹_x

dx

=

x−(x+dx) x(x+dx)

dx

=

−1 x²+xdx

dx

dx

=

x

+ xdx

≈ −1

x

car x

+ x dx

x

.

3.2 Lin´ earit´ e et d´ eriv´ ee de puissances

Pour all´ eger, ` a partir de ce point nous utiliserons souvent la notation

(y)

pour d´ esigner la d´ eriv´ ee de y. Par exemple, on ´ ecrit directement

x

= 2x plutˆ ot que

y = x

dy dx = 2x.

Comme une fonction constante a comme graphe une droite de pente 0, la tangente ` a cette droite en n’importe quel point est aussi une droite de pente nulle.

Proposition 3.4 (D´ eriv´ ee d’une constante). Si y = C, o` u C est une constante r´ eelle quelconque, alors

d(C) dx = 0 Exemple 3.1.

(2)

= 0 (−3)

= 0 (0)

= 0 (π)

= 0

D´ emonstration. Comme y = f (x) = C peut importe la valeur de x, on a que d(C)

dx = f ( x + dx)

f( x) dx

= C

C dx

= 0

De mani` ere similaire au cas o` u y est une fonction constante, la d´ eriv´ ee de y = x

co¨ıncide avec l’intuition : y = x est une droite de pente 1, donc toute tangente ` a cette

droite doit ˆ etre de pente 1.

Proposition 3.5. Si y = x, alors dy dx = 1 D´ emonstration.

dy

dx = (x + dx)

x

dx = dx

dx = 1

Proposition 3.6 (lin´ earit´ e 1 – d´ eriv´ ee d’un multiple d’une fonction). Si y = Cu, o` u u = f (x) est une fonction de x, alors

d dx

Cu

= C du dx

Exemple 3.2.

3x

= 3

x

x

5

!⁰

= 1 5

x

10 sin(x)

= 10 sin(x)

.

D´ emonstration. Preuve alg´ ebrique directe : si u = f( x), alors du = f (x + dx)

f ( x), donc, comme f (x) = u, on a que

u + du = f (x + dx) et donc

C(u + du) = C f (x + dx) La diff´ erentielle d(Cu) peut se calculer comme

d(Cu) = C f (x + dx)

C f (x) = C(u + du)

Cu.

On a donc que

d(Cu)

dx = C(u + du)

Cu dx

= Cu + Cdu

Cu dx

= Cdu dx

= C du dx

Preuve graphique :

C(u+du)

Cu Cdu

Proposition 3.7 (Lin´ earit´ e 2 : additivit´ e). Si u et v sont toutes deux des fonctions d’une mˆ eme variable, alors

d u + v

dx = du dx + dv

dx

D´ emonstration.

d u + v

dx =

(u + du) + (v + dv)

−

(u + v) dx

= du + dv dx

= du dx + dv

dx

Ainsi, on a que

d(u + v) dx = du

dx + dv dx

Preuve graphique :

u+du v+dv

u du v dv

u v du dv

u+v du+dv

Note : les deux derni` eres propri´ et´ es consid´ er´ ees ensemble forment une propri´ et´ e appel´ ee lin´ earit´ e de la d´ eriv´ ee. Les limites et plusieurs autres constructions math´ ema- tiques ´ etudi´ ees au coll´ egial on cette propri´ et´ e de

lin´ earit´ e

etude central du cours d’alg` ebre lin´ eaire.

Exemple 3.3.

−

x

+ 3x

=

−

x

+

3x

x

3x

=

x

+ (−3x)

= x

+

−

3x

Proposition 3.8 (Puissances). Si n

, alors d

x

dx = nx

Exemple 3.4.

x

= 3x

x

= 10x

x

= 743x

( x

)

= 1

x

= 1 (1)

= (x

)

= 0

x

= 0.

D´ emonstration. Pour cette preuve, nous utiliserons le triangle de Pascal pour d´ eve- lopper (x + dx)

. Ce d´ eveloppement d´ ebute ainsi :

(x + dx)

= x

+ nx

dx + ( termes o` u dx apparait avec un exposant

2).

Notons qu’on peut mettre dx en ´ evidence d’une somme dont les termes tous un facteur dx

. On trouve ainsi la d´ erive directement ` a partir de la d´ efinition :

d x

dx = ( x + dx)

x

dx

=

x

+ nx

dx + (termes) dx

−

x

dx

= nx

dx + (termes) dx

dx

=

nx

+ (termes) dx dx dx

= nx

+ (termes dx)

≈

nx

Exemple 3.5. A l’aide des propri´ ` et´ es pr´ ec´ edentes, on peut d´ eterminer la d´ eriv´ ee d’une fonction polynˆ omiale quelconque. Par exemple

3x

2x + 4

= (3x

)

(2x)

+ (4)

= 3(x

)

3(x)

+ (4)

= 3(x

)

3(x)

+ (4)

= 3(2x

)

3(1) + (0)

= 6x

3

Par la suite, nous ne donnerons pas autant de d´ etails pour la d´ eriv´ ee des polynˆ omes.

La plupart du temps, nous donnerons directement le r´ esultat.

3.3 D´ eriv´ ee d’un produit et d’un quotient

Proposition 3.9 (D´ eriv´ ee d’un produit, formule de Leibniz). Si u et v sont toutes deux des fonctions de x, alors sous forme diff´ erentielle

d uv

= vdu + udv.

Le taux de variation instantan´ e est donc d

uv

dx = vdu + udv

dx

D´ emonstration.

d uv dx =

(u + du)(v + dv)

−

(uv) dx

=

uv + vdu + udv + dudv

−

uv dx

= vdu + udv + dudv dx

≈

vdu + udv

dx car dudv est tr` es petit quand du et dv sont petits

= v du dx + u dv

dx

Preuve graphique :

u du

v dv

uv udv

vdu du dv (n´egligeable)

La r´ egion en gris est d(uv), la variation de uv quand u varie de du et v varie de dv.

Selon le graphique, on a que

d(uv) = udv + vdu + dudv, ce qui est approximativement

d(uv)

udv + vdu

car le produit dudv est tr` es petit par rapport ` a du et dv.

Exemple 3.6. En utilisant la formule de Liebniz 3.9, on trouve que (x

+ 1)(x

+ 1)

= (x

+ 1)

(x

+ 1) + ( x

+ 1)(x

+ 1)

= (4x

)(x

+ 1) + (x

+ 1)(6x

)

= (4x

+ 4x

) + (6x

+ 6x

)

= 10x

+ 6x

+ 4x

Proposition 3.10 (D´ eriv´ ee d’un quotient). Si u et v sont toutes deux des fonctions de x, alors, partout o` u

est d´ efinie :

d u

v

= vdu

udv

v

Sous forme de taux de variation instantan´ e d

v

dx = v

u

v

D´ emonstration. On utilise directement avec la d´ efinition dy = f (x + dx)

f( x). La fonction ` a d´ eriver est f (x) =

. Si x varie de dx, alors u et v varient respectivement de du et dv pour devenir u + du et v + dv.

d u

v

= u + du v + dv

u

v

= v(u + du)

u(v + dv) v(v + dv)

= (vu + v du)

(uv + u dv) v

+ vdv

= vu + v du

uv

u dv v

+ vdv

= v du

u dv v

+ vdv

≈

v du

u dv v

On peut diviser par dx pour obtenir le r´ esultat voulu : d

v

dx = vdu

udv

v

dx = v

u

v

Preuve graphique

u/v v

d(u/v) dv

u

dud(u/v)

udv v

vd(u/v)

du

udv

v + vd(u/v) vd(u/v) = udv

v

du d(u/v) = udv

vdu

v

On divise enfin par dx comme dans l’argument alg´ ebrique.

Exemple 3.7. En utilisant la propri´ et´ e 3.10 permettant de calculer la d´ eriv´ ee

d’un quotient, on trouve que









x

+ 1 x

+ + 1









0

= (x

+ 1)

( x

+ 1)− (x

+ 1)(x

+ 1)

(x

+ 1)

= 4x

(x

+ 1)

( x

+ 1)(6x

) (x

+ 1)

= (4x

+ 4x

)

(6x

+ 6x

) (x

+ 1)

=

2x

+ 6x

+ 4x

(x

+ 1)

Proposition 3.11 (Inverse d’une puissance).

d( x

)

dx =

D´ emonstration. On d´ etermine

x

de deux mani` ere diff´ erentes en utilisent l’identit´ e alg´ ebrique et ` a l’aide de la formule pour la d´ eriv´ ee d’un produit.

x

x

= 1.

En calculant la d´ eriv´ ee de chaque membre de cette ´ egalit´ e, on trouve que x

x

= (1)

= 0 parce que (C)

= 0 pour n’importe quelle constante.

On peut aussi utiliser la formule donnant la d´ eriv´ ee d’un produit : x

x

= x

x

+ x

x

= x

nx

dx + x

x

.

Comme on calcule la diff´ erentielle d’une mˆ eme expression de deux mani` eres diff´ erentes, les deux r´ esultats doivent ˆ etre ´ egaux. On doit donc avoir que

x

nx

dx + x

x

= 0 On isole d

x

dans cette derni` ere ´ egalit´ e :

x

=

x

x

x

dx On trouve enfin, en simplifiant l’expression obtenue :

x

=

dx,

ce qui est le r´ esultat d´ esir´ e.

D´ emonstration. Preuve ` a l’aide de la formule de d´ erivation d’un quotient.

d

xⁿ

dx = (1)

x

(1)(x

)

(x

)

= (0)x

nx

x

=

x

=

=

Exemple 3.8.

3 x

!0

= 3 x

= 3(−5)x

=

15 x

On peut remarquer que les formules trouv´ ees dans les propositions 3.8, 3.11 et 3.2 sont toutes des cas particuliers d’un sch´ ema plus g´ en´ eral :

d x

= rx

pour q un exposant rationnel quelconque.

Proposition 3.12. La formule d

x

dx = qx

est valable pour tout nombre rationnel q.

On verra plus loin que cette formule de d´ erivation est aussi valable pour n’importe quel exposant r´ eel r.

3.3.1 R` egle de chaine

Proposition 3.13. Si z est fonction de y fonction de x, alors le taux de variation total est le produit des taux de variations :

dz dx = dz

dy dy dx

D´ emonstration.

dz dy

dy dx = dz

dx

Exemple 3.9. Soient z = y

et y =

x deux fonctions. On aimerait connaitre le taux de variation de z par rapport ` a x. On utilise la r` egle de chaine. Noter que l’on veut le taux de variation en fonction de x. Il faut donc exprimer dz

dy en fonction de

x en substituant

x pour y.

dz dx = dz

dy dy dx

= (3y

)









1 2

x









= 3

x







1 2

x









= (3x)









1 2

x









= 3x 2

x

= 3

x 2

La r` egle de chaine peut aussi s’´ ecrire avec la notation f ( x). La d´ eriv´ ee d’une fonction compos´ ee f (g(x)) est

f (g( x))

= f

g(x)

g

(x).

Voyons pourquoi cette forme de la r` egle de chaine n’est qu’une reformulation de 3.13.

Si on pose que z = f (g(x)) et que y = g(x), on a que z = f (y). En appliquant la r` egle de chaine, on a que

f (g(x))

= dz dx = dz

dy dy dx Comme

= g

( x) et

= f

(y), on doit avoir que

f (g( x))

= f

(y)g

(x)

Enfin, on substitute y = g(x), dans cette derni` ere ´ egalit´ e pour exprimer la d´ eriv´ ee uniquement en fonction de x :

f (g(x))

= f

(g(x))g

( x).

Exemple 3.10. Soit la fonction d´ efinie par z = (2x

3)

. On peut voit cette

fonction comme la compos´ ee de la fonction f (y) = y

et g(x) = 2x

3. La d´ eriv´ ee de

la compos´ ee de f et g est

f (g(x))

= f

(g( x))g

(x)

= f

(y)g

(x)

= 8y

(2x

3)

= 8(2x

3)

(2)

= 16(2x

3)

Etant donn´ ´ e que la r` egle de chaine est tr` es souvent utilis´ ee, on ne fait habituellement pas autant d’´ etape dans le calcul d’une d´ eriv´ e avec la r` egle de chaine. Le r´ esultat d’un d´ eriv´ ee comme celle du dernier exemple se calcule directement sans ´ etapes interm´ ediaire — apr` es un entrainement suffisant !

La mani` ere suivante d’´ ecrire la r` egle de chaine permet de simplifier le calcul de la d´ eriv´ ee en pratique. Si u = g(x), alors

f(u)

= f

(u) u

Exemple 3.11.

(x

+ 1)

= u

(si u = x

+ 1)

= 5u

u

= 5(x

+ 1)

(x

+ 1)

= 5(x

+ 1)

(2x)

= 10x(x

+ 1)

En pratique, la variable interm´ ediaire u sera souvent choisie comme ´ etant

main

au tableau ou

doigt

sur papier pour ´ eviter d’´ ecrire explicitement u ` a chaque d´ eriv´ ee.

3.4 Lin´ earisation

Nous avons vu que la droite tangente ` a une fonction donn´ ee est une bonne approxi- mation de la fonction pr` es du point de tangence. Pour une fonction f donn´ ee, on appelle cette droite tangente la lin´ earisation de la fonction pr` es de x = a.

Proposition 3.14. La lin´ earisation de f pr` es de x = a est la droite suivante y = f (a) + f

(a)(x

a).

D´ emonstration. On voit dans le graphique suivant que la coordonn´ ee en y de f (x)

est f (a) plus (approximativement) f

(a)(x

a).

a x f (a)

f (x)

f (a)

( x

a)

f

(a)(x

a)

x f (x)

La longueur f

(a)(x

a) est l’accroissement ∆ y le long de la droite tangente quand

∆ x = x

a, sachant que par d´ efinition de la d´ eriv´ ee, la pende droite tangente en x = a

est ∆ y

∆ x = f

(a)

Ainsi, on peut approximer la fonction f pr` es de x = a par

f (x) = f (a) + f

(a)(x

a).

Exemple 3.12. Approximons la fonction f ( x) =

x par sa droite tangente en x = 4. La d´ eriv´ ee est

f (x) =

x

= x

= 1

2 x

= 1 2

x

La fonction est donc approxim´ ee par sa droite tangente en x = 2 qui a pour ´ equation y = f (4) + f

(4)(x

4)

=

4 + 1

2

4 ( x

4)

= 2 + 1 4 (x

4)

On peut se servir de cette approximation pour d´ eterminer approximativement

√

2.1. En approximant par la droite tangente en x = 4, on a que

√

x

2 + 1 4 (x

4).

Pour x = 4.1 on trouve

√

4.1

2 + 1

4 (4.1

4) = 2 + (0.25)(0.1) = 2.025.

Ainsi,

4.1

2.025. Cette valeur est proche de la valeur approximative donn´ ee par une calculatrice :

4.1

2.02484567313166.

Si on prend une valeur moins pr` es de a = 4, l’approximation est moins bonne. Par exemple, si x = 5 l’approximation par la droite tangente en x = 4 donne

√

5

2 + 1

4 (5

4) = 2 + (0.25)(1) = 2.25,

alors qu’une meilleure approximation donn´ ee par un logiciel ou une calculatrice est

√

5

2.23606797749979.

On peut comprendre pourquoi en examinant le graphe suivant repr´ esentant le graphe de la fonction f (x) =

x et celui de la droite tangente en x = 4 dont l’´ equation est y = 2 +

(x

4)

4 2

x

√

x

Plus x est loin de x = 4, plus l’´ ecart entre la droite tangente et le graphe est grand, ce qui explique pourquoi l’´ ecart trouv´ e est plus grand en x = 5 qu’en x = 4.1.

3.5 D´ erivation implicite

Il est possible de d´ efinir une fonction par une ´ equation. Par exemple :

y = 1

x y = x

On pourrait aussi d´ efinir ces fonctions par les ´ equations suivantes xy = 1 x

y = 0.

Dans une telle d´ efinition implicite, il faut cependant sp´ ecifier quelle variable est fonction de l’autre. Par habitude, nous prenons souvent y comme fonction de x.

Nous savons cependant qu’une ´ equation ne peut pas toujours ˆ etre vue comme une d´ efinition implicite d’une fonction. Par exemple l’´ equation du cercle de rayon 1

x

+ y

= 1

ou encore celle d’une hyperbole

x

y

= 1

Mˆ eme si ces ´ equations ´ etablissent des relations entre les variables x et y sans que ces relations soient des fonctions, il est possible de d´ eterminer la pente des tangentes

`

a ces courbes ` a l’aide de la d´ eriv´ ee en supposant qu’il est possible localement de supposer que ces courbes sont le graphe d’une fonction d´ efinie implicitement.

Exemple 3.13. Prenons l’hyperbole d´ efinie par l’´ equation x

y

= 1. On veut connaitre la pente de la tangente au point ( x, y).

( x, y)

On suppose que

localement

y est une fonction de x, que l’on pourrait ´ ecrire comme y = f( x).

Comme le point (x, y) est sur la courbe, on doit avoir que x

y

= 1.

Si on consid` ere chaque membre de cette ´ egalit´ e comme une fonction, on peut les d´ eriver et ont obtient le mˆ eme r´ esultat :

x

y

= 1

.

2x

2yy

= 0.

Notez le

y

: c’est la

d´ eriv´ ee de l’int´ erieur

dans l’application de la r` egle de chaine. En effet, on pourrait ´ ecrire y

comme ( f ( x))

puisque y = f (x). En d´ erivant sous cette forme avec la r` egle de chaine on obtient

f ( x)

= 2 f (x) f

(x).

Comme 2 f (x) f

( x) = 2yy

, on voit que la d´ eriv´ ee de y

par rapport ` a x est bien 2yy

.

Enfin, on isole y

dans l’´ egalit´ e 2x

2yy

= 0 pour obtenir une expression donnant la pente de la tangente en fonction des coordonn´ ees x et y du point (x, y) :

y

=

2x

−2y

= x y

On peut utiliser ce r´ esultat pour d´ eterminer la pente de la tangente au point (2,

3). On v´ erifie que ce point est bien sur l’hyperbole : 2

3

= 4

3 = 1.

(Si le point n’´ etait pas sur l’hyperbole, l’hypoth` ese de d´ epart de ce calcul serait fausse et la conclusion y

=

le serait aussi !)

La pente de la tangente au point donn´ e est donc

y

= 2

√

3

On peut utiliser la d´ erivation implicite dans les preuves de certaines propositions — cela arrivera dans la suite du cours. Voyons un exemple typique.

Proposition 3.15.

x

= 1 n x

D´ emonstration. On a la relation suivante :

x

= x.

Si on d´ erive chaque membre de cette ´ egalit´ e, on a x

= (x)

c’est-` a-dire, en utilisant la r` egle de chaine :

n

x

x

= 1.

On isole la d´ eriv´ ee recherch´ ee : x

= 1

n x

On simplifiant le membre de droite, on trouve la formule d´ esir´ ee : x

= 1

n x

3.5.1 Taux li´ es

La r` egle de chaine permet l’´ etude de taux de variation de variables li´ ees entre elles

par une relation, comme dans la section pr´ ec´ edente.

Exemple 3.14. Imaginons un cercle dont le rayon r varie dans le temps. Si le rayon varie, l’aide du cercle doit varier elle aussi car les deux quantit´ es sont reli´ es par l’´ equation

A =

On a donc une situation o` u l’aire A est fonction du rayon r, lui-mˆ eme fonction du temps. Pour connaitre le taux de variation de l’aire en fonction du temps, on utilise la r` egle de chaine :

dA dt = dA

dr dr dt dA

dt = 2πr dr dt

Si le taux de variation du rayon

est de 55

et que le rayon du cercle est de 10 cm, le taux de variation de l’aire est

dA

dt = 2πr|

(5

) = 2π(10 cm)(5

) = 100π

314.16

Notons que pour le taux de variation du rayon

est de 55

et que le rayon du cercle est diff´ erent, par exemple de 100 cm, le taux de variation de l’aire est

dA

dt = 2πr|

(5

) = 2π(100 cm)(5

) = 1000π

3141.59

On voit que le taux de variation de l’aire d´ epend du rayon du cercle. On explique cela g´ eom´ etriquement par le fait que pour un petit cercle, un accroissement de son rayon de 5 cm aura un grand effet sur l’aire, alors que pour un grand cercle, un mˆ eme accroissement du rayon aura peu d’effet sur l’aire.

3.6 D´ eriv´ ee d’ordre sup´ erieur

Le

taux de changements du taux de changement

est une autre quantit´ e importante pouvant nous donner de l’information sur le comportement d’une fonction. En dynamique, elle correspond ` a l’acc´ el´ eration, qui est le taux de changement de la vitesse, elle mˆ eme le taux de changement de la position.

Comme le taux de changement d’une fonction un point de son graphe est donn´ ee par la d´ eriv´ ee de la fonction, le taux de changement du taux de changement est donn´ ee par la d´ eriv´ ee de la d´ eriv´ ee. On peut voir la d´ eriv´ ee d’une fonction comme une nouvelle fonction, que l’on peut d´ eriver elle aussi.

Par exemple, si on prend f ( x) = x

, le taux de changement est donn´ ee par f

(x) = 3x

. Le taux de changement de f

est donc donn´ e par la d´ eriv´ ee seconde f

( x) = 6x.

D´ efinition 3.1. On appelle d´ eriv´ ee seconde d’une fonction la d´ eriv´ ee de sa d´ eriv´ ee

f

(x)

= f

(x)

On d´ efini de mani` ere similaire la d´ eriv´ ee troisi` eme f

(x) = f

( x)

, la d´ eriv´ ee quatri` eme f

(x) =

f

(x)

, etc.

On appelle ces d´ eriv´ ees les d´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur.

Exemple 3.15. Calculer la d´ eriv´ ee troisi` eme de f (x) =

x.

f (x) =

x f

(x) = 1

2

x f

(x) =









1 2

x









0

= 1 2

x

=

1 2

−1

2

!

x

=

1 4

√

x

f

(x) =









−

1 4

√

x









0

=

1 4

x

=

1 4









−

3 2









x

= 3 8

√

x

Comme on peut r´ ep´ eter la d´ erivation autant de fois que l’on veut, l’accumulation de

«

’

peut alourdir la notation. Il est plus pratique d’avoir une notation qui indique plus simplement le nombre de fois qu’une fonction est d´ eriv´ ee.

D´ efinition 3.2.

D´ eriv´ ee premi` ere : f

( x)

= f

(x)

D´ eriv´ ee seconde : f

( x)

= f

(x) = f

(x)

D´ eriv´ ee troisi` eme : f

( x)

= f

(x) =

f

(x)

D´ eriv´ ee quatri` eme : f

( x)

= f

( x) =

f

(x)

D´ eriv´ ee cinqui` eme : f

( x)

=

f

(x)

...

D´ eriv´ ee n-i` eme : f

( x)

=

f

(x)

La d´ eriv´ ee d’ordre quelconque f

est appel´ ee d´ eriv´ ee n-i` eme.Par convention, la

d´ eriv´ ee 0-ieme

est la fonction elle mˆ eme : f

(x)

= f (x).

Les d´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur ont une notation dans toute les variantes de la notation pour la d´ eriv´ ee. Le tableau suivant offre un panorama de ces notations.

Notations pour la d´ eriv´ ee seconde f

(x) f

(x) y

x

d

y dx

d

f (x) dx

d

x

dx

f

(a) f

(a) y

x

d

y dx

d

f (x) dx

_x=a

d

x

dx

_x=a