Nombre d´ eriv´ e en 1 de la fonction racine carr´ ee

Cours Premi`ere S1

Nombre d´ eriv´ e en 1 de la fonction racine carr´ ee

´

1 : C

’

√1 +h−1

h pour h6= 0 (Afin d’avoir acc`es `a la limite quand h tend vers 0.)

L’id´ee est d’exploiter l’´egalit´e remarquable : (a−b)(a+b) =a²−b² . Ainsi on a : √

1 +h−1

×√

1 +h+ 1

=√

1 +h2

−1²= 1 +h−1 = h On dit que :√

1 +h+ 1

est la quantit´e conjugu´ee de √

1 +h −1 Appliquons ceci `a notre taux d’accroissement :

on multiplie num´erateur et d´enominateur par cette quantit´e conjugu´ee : Pour tout√ h6= 0 on a :

1 +h−1

h =

√

1 +h−1 √

1 +h+ 1 h √

1 +h+ 1 = h

h √

1 +h+ 1 = 1

√1 +h+ 1 .

´

ETAPE

2 :

`

On peut alors appliquer pourh= 0 Donc : lim

h→0

√

1 +h−1

h = 1

√1 + 0 + 1 = 1 2

´

ETAPE

3 : T

´

La tangente passe par le point de coordonn´ees (1; 1) avec un coefficient directeur 1 2 Son ´equation est : y = 1

2x+1 2

1 2 3 4 5

1 2 3

0

•

1 11 mars 2017