Fonction carr´ ee
D´ efinition :
On nommefonction carr´ee, la fonction d´efinie surRparxÞÑx2.
Tableau de valeurs :
x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 x2 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9
Remarque :
La fonction carr´ee n’est pas lin´eaire.
Cette fonction est paire : pour toutx,fpxqfpxq.
Repr´esentation graphique :
D´ efinition :
La repr´esentation graphique de la fonction carr´ee se nommeparabole.
Remarque :
L’axe des ordonn´ees est un axe de sym´etrie de la repr´esentation graphique de la fonction carr´ee.
Remarque :
La repr´esentation graphique permet ´egalement de trouver les produits de deux nombres. Exemple : 23 = 6 ...
Sens de variation :
x 8 0 8
xÞÑx2
8
&0%
8
Fonctions se ramenant ` a la fonction carr´ ee :
La repr´esentation graphique de la fonctionxÞÑpx aq2est l’image de la repr´esentation graphique de la fonction carr´ee par une translation((horizontale)):
La fonctionxÞÑpx3q2est repr´esent´ee par la courbe de la fonction carr´ee suivie d’une translation de vecteur
~ u
3 0
.
La fonctionxÞÑpx 4q2est repr´esent´ee par la courbe de la fonction carr´ee suivie d’une translation de vecteur
~ v
4 0
.
Exercice :Repr´esenter la fonctionxÞÑpx 3q2.
La repr´esentation graphique de la fonction xÞÑx2 b est l’image de la repr´esentation graphique de la fonction carr´ee par une translation((verticale)):
La fonctionxÞÑx2 3 est repr´esent´ee par la courbe de la fonction carr´ee suivie d’une translation de vecteur
~ u
0 3
.
La fonctionxÞÑx24 est repr´esent´ee par la courbe de la fonction carr´ee suivie d’une translation de vecteur
~ v
0
4
.
Exercice :Repr´esenter la fonctionxÞÑx2 4 .
En g´en´eral,vu quex2 ax bpxαq2 β avecαa
2 etβ ba2
4 , larepr´esentation graphique de toute fonction trinˆome du type x ÞÑx2 ax b est l’image de la repr´esentation graphique de la fonction carr´ee par une translation.
La fonction xÞÑpx 3q2 4x2 6x 13 est repr´esent´ee par la courbe de la fonction carr´ee suivie d’une translation de vecteur~u
3 0
puis d’une translation de vecteur~v
0 4
.
Exercice :Repr´esenter la fonctionxÞÑx2 6x 5.
R´ esolution d’´ equation et d’in´ equation
R´esolution dex2k
Sik¡0 Sik0 Sik 0
deux solutions :
?
ket
?
k unique solution : 0 aucune solution dansR un carr´e est toujours positif
R´esolution d’une in´equation aveck¡0
x2¡ketk¡0 x2 ketk¡0
Ss8;
?
krYs
?
k; 8r Ss
?
k;
?
kr
