D40261. Partition carr´ ee
On veut diviser un champ carr´e en N parcelles carr´ees, par des segments parall`eles aux cˆot´es. Les parcelles peuvent ˆetre de tailles diff´erentes, et ne sont pas n´ecessairement de tailles toutes diff´erentes. Pour quelles valeurs de N est-ce possible ?
Solution
Je remarque d’abord que si une division enN parcelles est possible, il suffit de subdiviser une parcelle en 4, par ses m´ediatrices, pour obtenir une division enN+3 parcelles. Cela conduit `a examiner le probl`eme selon le reste modulo 3 deN.
Comme on part deN = 1 carr´e, le proc´ed´e indiqu´e permet d’obtenir toutes les valeurs deN exc´edant de 1 un multiple de 3 : 4, 7, . . .
Pour N multiple de 3, on voit que le carr´e de d´epart peut ˆetre divis´e en 9 parcelles ´egales, de cˆot´e 3 fois plus petit. On peut aussi regrouper 4 de ces parcelles en un carr´e de cˆot´e 2/3 du cˆot´e initial, ce qui donne une division en 6 parcelles. Le probl`eme est donc possible pourN = 6, puis pour tout N multiple de 3, saufN = 3.
Pour N exc´edant de 2 un multiple de 3, je divise le carr´e de d´epart en 16 parcelles ´egales, de cˆot´e 4 fois plus petit. Je peux alors regrouper 9 de ces parcelles en un carr´e de cˆot´e 3/4 du cˆot´e initial, ce qui donne une division en 8 parcelles. Le probl`eme est donc possible pour toutN exc´edant de 2 un multiple de 3, saufN = 2 etN = 5.
En conclusion, le probl`eme est possible sauf pour 2, 3 ou 5 carr´es.
Le probl`eme de diviser un carr´e en parcelles carr´ees de taillestoutes diff´e- rentesest beaucoup plus difficile. On connaˆıt des solutions pourN = 21, 24, 26, 28, 38 et 55.
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