D20070. L’angle au carr´ e
Dans un carr´e ABCD, le point int´erieurM est tel queM A= 1, M B = 2, M C = 3. Que vaut l’angleAM Bd ?
Solution
La rotation de π/2 autour de B qui am`ene C en A am`ene M en P. Le triangleBM P est isoc`ele rectangle en B, etP M Bd =π/4.
On a M P =M B√
2 = 2√
2, AP =M C = 3,M A= 1, donc (Pythagore) le triangleAM P est rectangle enM, et finalement
AM Bd =AM Pd +P M Bd = 3π/4.
Nota. On a plus g´en´eralement le th´eor`eme suivant : Soit un triangle ABC et un point M int´erieur `a son cercle circonscrit. Les anglesBM Cd −BAC,d CM Ad −CBA,d AM Bd −ABC, sont les angles d’un triangle aux cˆd ot´es pro- portionnels `a M A.BC, M B.CA, M C.AB respectivement. Ainsi BM Cd = AP Md +π/4,CM Ad =P AMd +π/2 dans le cas pr´esent.
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