Le th´ eor` eme des six exponentielles restreint ` a l’irrationalit´ e par

mise ` a jour : 08/11/2020

Le th´ eor` eme des six exponentielles restreint ` a l’irrationalit´ e par

Michel Waldschmidt

R´esum´e.

Si

sont trois nombres rationnels positifs multiplicativement ind´ ependants et

un nombre r´ eel positif tel que les trois nombres

,

,

soient rationnels, alors

est aussi rationnel. Pour d´ emontrer ce r´ esultat, on introduit un param` etre

et une matrice carr´ ee

dont les coefficients sont des fonctions (p

)

. Le d´ eterminant

∆(x) de cette matrice s’annule en un point r´ eel

si et seulement si

est rationnel.

Les hypoth` eses impliquent que ∆(1) est un nombre rationnel, dont on majore facilement un d´ enominateur. Pour majorer

premiers coefficients de Taylor de ∆(x) ` a l’origine sont nuls.

Abstract.

Let

be three multiplicatively independent positive rational numbers and

a positive real number such that the three numbers

,

,

are rational ; then

is also rational. We prove this result by introducing a parameter

and a square

matrix, the entries of which are functions (p

)

. The determinant ∆(x) of this matrix vanishes at a real point

if and only if

is rational. From the hypotheses, it follows that ∆(1) is a rational number ; one easily estimates a denominator of it. An upper bound for

follows from the fact that the

1)/2 first Taylor coefficients of ∆(x) at the origin vanish.

Mots–cl´es :

nombres rationnels ; irrationalit´ e ; th´ eor` eme des six exponentielles ; conjec- ture des quatre exponentielles ; ind´ ependance multiplicative de nombres r´ eels ; d´ eterminant ; s´ erie de Taylor

2010 Mathematics Subject Classification :

11J86

Dans [S], Omar Sonebi fait appel au cas particulier suivant du th´ eor` eme des six exponentielles :

(?) Si u est un nombre r´ eel positif tel que x

soit rationnel pour tout x rationnel positif, alors u est entier.

L’auteur ajoute ce commentaire : Ce probl` eme est en fait particuli` erement compliqu´ e, il n´ ecessite des r´ esultats assez forts pour ˆ etre r´ esolu.

C’est un fait que les d´ emonstrations (voir notamment [Lan, Lau, R, W1, W2]) du th´ eor` eme de transcendance des six exponentielles cit´ e dans [S, p. 61]

n´ ecessitent des outils de th´ eorie alg´ ebrique des nombres (pour d´ emontrer

une in´ egalit´ e de Liouville permettant de minorer un nombre alg´ ebrique non

nul), d’analyse complexe (pour majorer la valeur d’une fonction analytique

ayant de nombreux z´ eros) et mˆ eme quelquefois d’alg` ebre commutative (pour

d´ emontrer un lemme de z´ eros). Nous allons montrer que ce commentaire est

moins justifi´ e pour le cas particulier (?).

Un autre cas particulier du th´ eor` eme des 6 exponentielles, qui a fait l’objet de la comp´ etition Putnam en 1971

(voir [H]), consiste ` a montrer que si x

est entier pour tout x entier positif, alors u est entier. On peut d´ emontrer assez facilement cet ´ enonc´ e en utilisant le calcul des diff´ erences finies (voir [H] et [W1, Chapitre I Exercice 6, p. I-12 — I-13]). Mais, comme me l’a fait remarquer Alain Tissier, cela ne suffit pas pour d´ emontrer (?).

Disposer d’une d´ emonstration du mˆ eme genre pour l’´ enonc´ e (?) pourrait ˆ etre int´ eressant, mais l’auteur n’en connait pas. Nous allons nous contenter de montrer comment simplifier la preuve du th´ eor` eme des six exponentielles quand on se restreint ` a l’irrationalit´ e.

Voici la version du th´ eor` eme des six exponentielles restreinte ` a l’irratio- nalit´ e (la version non restreinte [S, p. 61] concerne la transcendance). On dit que trois nombres positifs p, q, r sont multiplicativement ind´ ependants si une relation p

q

r

= 1 avec a, b, c entiers implique a = b = c = 0.

Th´ eor` eme. Soient p, q, r trois nombres rationnels positifs multiplicative- ment ind´ ependants et u un nombre r´ eel positif tel que les trois nombres p

, q

et r

soient rationnels. Alors u est rationnel.

Il est facile de voir que si u est un nombre rationnel et p un nombre premier tel que p

est aussi rationnel, alors u est entier. Il est clair aussi que trois nombres premiers distincts sont multiplicativement ind´ ependants, par le th´ eor` eme fondamental de l’arithm´ etique. Par cons´ equent on d´ eduit du th´ eor` eme le corollaire suivant [H, Theorem 2] :

Corollaire. Soient p, q, r trois nombres premiers distincts et u un nombre r´ eel positif tel que les trois nombres p

, q

et r

soient rationnels. Alors u est un entier.

On peut choisir u irrationnel et p premier tel que p

soit ´ egalement entier, par exemple u = (log q)/(log p). On ne connaˆıt pas d’exemple de u irrationnel et de nombres rationnels p et q multiplicativement ind´ ependants avec p

et q

rationnels : montrer qu’il n’y en a pas est le probl` eme des quatre exponentielles restreint ` a l’irrationalit´ e, qui est toujours ouvert. En notant p

= r et q

= s, on aurait

u = log r

log p = log s log q ·

Le probl` eme est donc celui de montrer qu’une matrice 2 × 2 log p log q

log r log s

1. 32nd Putnam 1971 question A6 https://prase.cz/kalva/putnam/putn71.html

a un rang ´ egal ` a 2 quand p, q, r, s sont des nombres rationnels positifs avec p, q multiplicativement ind´ ependants et p, r ´ egalement multiplicativement ind´ ependants.

L’id´ ee de la d´ emonstration du th´ eor` eme est la suivante : si les six nombres p, q, r, p

, q

et r

sont rationnels, alors les trois fonctions de variable r´ eelle p

, q

et r

prennent des valeurs rationnelles en tous les points ξ

= t

+ t

u avec t = (t

, t

) ∈ Z

. Pour s = (s

, s

, s

) ∈ Z

, il en est donc de mˆ eme de la fonction f

(x) = (p

q

r

)

. On choisit un entier N suffisamment grand (on pr´ ecisera cette condition tout ` a la fin), on pose S = N

, T = N

, L = N

, de sorte que L = S

= T

. Le d´ eterminant

∆ = det

f

(ξ

)

0≤sj <S 0≤ti<T

est un nombre rationnel. Soit D un d´ enominateur commun de p, q, r, p

, q

et r

. Pour s

≥ 0 et t

≥ 0 entiers, les nombres

D

f

(ξ

) = (Dp)

(Dq)

(Dr)

(Dp

)

(Dq

)

(Dr

)

sont entiers, donc D

∆ est un entier rationnel. La d´ emonstration va consister ` a majorer |∆|, en particulier pour N suffisamment grand on aura

|∆| < D

, donc ∆ = 0 ; on montrera aussi que la condition ∆ = 0 implique que u est rationnel.

Commen¸cons par ce dernier point. Dire que le d´ eterminant ∆ est nul signifie qu’il existe des nombres rationnels a

, non tous nuls, tels que la fonction

F (x) =

S

X

s1=0 S

X

s2=0 S

X

s3=0

a

f

(x) v´ erifie

(1) F (ξ

) = 0 pour 0 ≤ t

, t

< T.

Les trois nombres log p, log q, log r sont lin´ eairement ind´ ependants sur Q car p, q, r sont multiplicativement ind´ ependants. Le lemme suivant, appliqu´ e ` a

{w

, . . . , w

} =

s

log p + s

log q + s

log r | 0 ≤ s

, s

, s

< S avec n = L montre que les conditions (1) impliquent que les nombres ξ

ne sont pas deux ` a deux distincts, donc que u est rationnel.

2. Ce d´ eterminant est bien d´ efini au signe pr` es, d´ ependant de l’ordre que l’on choisit

pour l’ensemble des

et pour celui des

Lemme 1. Soient w

, . . . , w

des nombres r´ eels deux ` a deux distincts et a

, . . . , a

des nombres r´ eels non tous nuls. Alors le nombre de z´ eros r´ eels de la fonction

F (x) = a

e

+ · · · + a

e

est ≤ n − 1.

D´ emonstration. On va utiliser le th´ eor` eme de Rolle sous la forme suivante : si une fonction r´ eelle de variable r´ eelle continˆ ument d´ erivable a m z´ eros r´ eels, alors sa d´ eriv´ ee en a au moins m − 1.

La d´ emonstration du lemme 1 se fait par r´ ecurrence sur n. L’´ enonc´ e est vrai pour n = 1 : la fonction a

e

n’a pas de z´ ero. Supposons l’´ enonc´ e vrai pour n − 1 avec n ≥ 2. On suppose aussi a

, . . . , a

non tous nuls – ce n’est pas restrictif. La d´ eriv´ ee G(x) de la fonction e

F (x) s’´ ecrit

G(x) = a

(w

− w

)e

+ · · · + a

(w

− w

)e

avec des coefficients a

(w

− w

), . . . , a

(w

− w

) qui ne sont pas tous nuls. L’hypoth` ese de r´ ecurrence montre que G(x) a au plus n − 2 z´ eros.

Le th´ eor` eme de Rolle implique que la fonction e

F (x), donc la fonction F(x) aussi, a au plus n − 1 z´ eros.

Il ne reste plus qu’` a majorer |∆|. Cette majoration n’utilise pas les hy- poth` eses arithm´ etiques : elle est valable pour sans supposer p, q, r, p

, q

et r

rationnels.

On introduit la fonction

Ψ(x) = det

f

(ξ

x)

0≤sj <S 0≤ti<T

,

de sorte que ∆ = Ψ(1), et on d´ eveloppe le d´ eterminant pour ´ ecrire Ψ(x) = X

σ∈S_L

(σ)e

;

on a not´ e S

l’ensemble des L! bijections σ : s → (t

, t

) de l’en- semble des s = (s

, s

, s

) (0 ≤ s

< S, j = 1, 2, 3) sur l’ensemble des t = (t

, t

), (0 ≤ t

< T, i = 1, 2), (σ) est la signature de σ (d´ ependant de l’ordre choisi pour les s et pour les t) et, pour σ ∈ S

,

w

=

S−1

X

s1=0 S−1

X

s2=0 S−1

X

s3=0

(s

log p + s

log q + s

log r)(t

+ t

u).

On utilisera la majoration

(2) |w

| ≤ LST (1 + u) log(pqr).

On consid` ere le d´ eveloppement de Taylor de ψ ` a l’origine : Ψ(x) = X

m≥0

α

x

.

Le lemme suivant montre que l’on a

α

= α

= · · · = α

= 0 avec M = L(L − 1)/2.

Rappelons qu’une fonction analytique en 0 est une fonction qui est la somme au voisinage de 0 d’une s´ erie enti` ere convergente ; cette s´ erie est alors sa s´ erie de Taylor.

Lemme 2. Soient f

, . . . , f

des fonctions analytiques en 0 et ξ

, . . . , ξ

des nombres complexes. Le d´ eveloppement de Taylor de la fonction

F (x) = det

f

(ξ

x)

1≤λ,µ≤L

, s’´ ecrit

F (x) = X

m≥0

α

x

avec

α

= α

= · · · = α

= 0.

D´ emonstration. Grˆ ace ` a la multilin´ earit´ e du d´ eterminant, il suffit de montrer ce r´ esultat quand chaque f

(x) est un monˆ ome x

. Si le d´ eterminant

det

(ξ

x)

1≤λ,µ≤L

= x

det ξ

1≤λ,µ≤L

n’est pas nul, alors n

, . . . , n

sont deux ` a deux distincts, donc n

+ n

+ · · · + n

≥ 0 + 1 + · · · + (L − 1) = M.

Pour obtenir la majoration attendue de |∆|, on introduit un nombre

R ≥ 1 – on choisira R = e, la base des logarithmes n´ ep´ eriens, mais on

pourrait prendre n’importe quelle constante absolue > 1 pour conclure.

Lemme 3. Soient w

, . . . , w

, a

, . . . , a

des nombres r´ eels. Si le d´ eveloppement de Taylor ` a l’origine de la fonction

F (x) =

J

X

j=1

a

e

s’´ ecrit

F (x) = X

m≥0

α

x

avec

α

= α

= · · · = α

= 0, alors

|F (1)| ≤ R

J

X

j=1

|a

|e

.

D´ emonstration. On a F (x) =

J

X

j=1

a

X

m≥0

w

m! x

= X

m≥0 J

X

j=1

a

w

m! x

,

donc

α

=

J

X

j=1

a

w

m!

et

|α

| ≤

J

X

j=1

|a

| |w

|

m! ·

Alors

|F (1)| =

X

m≥M

α

≤ X

m≥M

|α

| ≤ R

X

m≥M

|α

|R

≤ R

X

m≥M J

X

j=1

|a

| |w

|

m! R

≤ R

J

X

j=1

|a

|e

.

Le lemme 2 nous autorise ` a utiliser la majoration fournie par le lemme 3 pour la fonction Ψ avec J = L! et a

= ±1 ; comme Ψ(1) = ∆, on obtient, grˆ ace ` a (2) :

|∆| ≤ R

L!(pqr)

.

Pour conclure la d´ emonstration du th´ eor` eme, il reste ` a v´ erifier que l’on a (3) L!(pqr)

D

< R

pour N suffisamment grand. Rappelons les valeurs des param` etres L = N

, S = N

, T = N

, M = 1

2 L(L − 1).

On v´ erifie que la condition (3) est v´ erifi´ ee avec R = e d` es que N > 12 log D + 2e(1 + u) log(pqr) + 1.

Quelques commentaires. On peut se demander d’o` u vient l’introduc- tion de ce d´ eterminant ∆. La r´ eponse est qu’il vient de loin. Les m´ ethodes de transcendance ont leur origine dans la d´ emonstration par Hermite de la transcendance du nombre e ; elles ont ´ et´ e ´ elabor´ ees par de nombreuses contri- butions depuis 1873, notamment par Siegel, Lang et Ramachandra, qui sont

`

a l’origine du th´ eor` eme des six exponentielles. La premi` ere apparition de ce th´ eor` eme est dans un article d’Alaoglu et Erd¨ os [AE] concernant les travaux de Ramanujan sur les nombres hautement compos´ es et les nombres colossa- lement abondants ; ils ont demand´ e ` a Siegel s’il ´ etait vrai que les conditions p

et q

entiers avec p et q premiers impliquaient u entier, Siegel leur a dit qu’il ne savait pas le d´ emontrer mais qu’il savait le faire en ajoutant r

, comme dans le th´ eor` eme .

[AE, p. 449] This question leads to the following problem in Dio- phantine analysis. If p and q are different primes, is it true that p

and q

are both rational only if x is an integer ?

[AE, p. 455] It is very likely that q

and p

can not be rational at the same time except if x is an integer. . .At present we cannot show this. Professor Siegel has communicated to us the result that q

, r

and s

cannot be simultaneously rational except if x is an integer

On trouvera les d´ emonstrations de Lang et Ramachandra dans les r´ ef´ erences

[Lan] et [R] respectivement. Ces d´ emonstrations font intervenir des fonctions

auxiliaires. Les remplacer par le d´ eterminant ∆ est une id´ ee de M. Laurent [Lau, § 6.1]. L’introduction d’un d´ eterminant dans une question de nature semblable se trouve d´ ej` a dans l’article [CS] de Cantor et Straus sur un th´ eor` eme de Dobrowolski concernant un probl` eme de Lehmer. On trouvera d’autres r´ ef´ erences dans [W1, W2].

R´ ef´ erences

[AE] L. Alaoglu & P. Erd¨ os –

On highly composite and similar num- bers

, Trans. Amer. Math. Soc. 56 (1944), p. 448–469.

DOI http://dx.doi.org/10.2307/1990319 .

[CS] D. C. Cantor & E. G. Straus –

On a conjecture of D. H. Leh- mer

, Acta Arith. 42 (1982/83), no. 1, p. 97–100, Correction, id. no. 3 p.327.

DOI http://dx.doi.org/10.4064/aa-42-1-97-100 .

[H] H. Halberstam –

Transcendental numbers

, Math. Gaz. 58 (1974), p. 276–284,

DOI https://www.jstor.org/stable/3616099 .

[Lan] S. Lang – Introduction to transcendental numbers, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1966.

[Lau] M. Laurent –

Sur quelques r´ esultats r´ ecents de transcendance

, Ast´ erisque (1991), no. 198-200, p. 209–230 (1992) ; Journ´ ees Arithm´ etiques, Luminy 1989.

https://smf.emath.fr/publications/sur-quelques-resultats-recents-de-transcendance . [R] K. Ramachandra –

Contributions to the theory of transcendental

numbers. I, II

, Acta Arith. 14 (1967/68), 65-72 and 73–88.

DOI http://dx.doi.org/10.4064/aa-14-1-73-88 .

[S] O. Sonebi –

R´ eponse R868 ` a la question pos´ ee dans RMS 125 4

, Revue de la Fili` ere Math´ ematiques (octobre 2020), 131e ann´ ee no. 1, p. 60–62.

https://www.rms- math.com/index.php?option=com_staticxt&Itemid=172&staticfile=RMS131-112.html

. [W1] M. Waldschmidt – Linear independence of logarithms of algebraic

numbers, IMS Report, vol. 116, Institute of Mathematical Sciences, Madras, 1992, With an appendix by Michel Laurent.

https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/LIL.pdf . [W2] — , Diophantine approximation on linear algebraic groups, Grundleh-

ren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 326, Springer-Verlag,

Berlin, 2000.

DOI http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-11569-5 .

Michel WALDSCHMIDT Sorbonne Universit´ e

Facult´ e Sciences et Ing´ enierie

CNRS, Institut Math´ ematique de Jussieu Paris Rive Gauche, IMJ-PRG F – 75005 Paris, France

michel.waldschmidt@imj-prg.fr

http://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt