Un th´ eor` eme de Wolstenhome

Un th´ eor` eme de Wolstenhome

Gilles Auriol

auriolg@free.fr — http ://auriolg.free.fr

Th´ eor` eme. — Soit p > 5 un nombre premier et

p−1

X

k=1

1 k = A

B ´ ecrit sous forme irr´ eductible. Alors p

divise A.

Preuve. — Pour tout tout k ∈ [[1, p − 1]], on pose p

= Y

16i6p−1 i6=k,i6=p−k

i = (p − 1)!

k (p − k) . Une astuce classique permet d’´ ecrire

A B =

p−1

X

k=1

1 k = 1

2

p−1

X

k=1

1

k + 1 p − k

= 1 2

p−1

X

k=1

p

k(p − k) = p 2

p−1

X

k=1

1

k(p − k) = p 2(p − 1)!

p−1

X

k=1

p

Par cons´ equent on arrive ` a

pB ×

p−1

X

k=1

p

= 2A (p − 1)! (1)

Pour k ∈ [[1, p − 1]], on a k(p − k)p

= (p − 1)! ≡ −1 [p] par le th´ eor` eme de Wilson

, d’o` u

−k

p

≡ −1 [p], c’est-` a-dire que dans Z /p Z , p e

= e k

(k ´ etant inversible puisque Z /p Z est un corps). Par suite

p−1

X

k=1

p e

=

p−1

X

k=1

e k

=

p−1

X

k=1

e k

=

p−1

X

k=1

e k

(2) la derni` ere ´ egalit´ e r´ esultant du fait, ´ evident, que l’application e k 7→ e k

est une permutation de Z /p Z − {0}.

Dans N , on a

p−1

X

k=1

k

= p(p − 1)(2p − 1)

6 . Or pgcd(p, 6) = 1 car p > 5 est premier. Ainsi 6 divise (p − 1)(2p − 1) et p est un diviseur du membre de droite, donc p divise

p−1

X

k=1

k

, et d’apr` es l’´ egalit´ e (2) il divise aussi

p−1

X

k=1

p

et il existe k ∈ N tel que

p−1

X

k=1

p

= kp ; par suite l’identit´ e (1) s’´ ecrit p

× kB = A × 2(p − 1)! et le th´ eor` eme de Gauss assure alors que p

divise A puisque p (donc p

) est premier avec 2(p − 1)!.

1

Rappel du th´ eor` eme de Wilson . Soit p un entier naturel, p premier ≡ (p − 1)! ≡ −1 [p].

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