Th´eor`eme de Molien.

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Th´eor`eme de Molien.

Ann´ee 2014-2015

Arnaud S^TOCKER ENS Rennes Universit´e de Rennes 1

Table des mati`eres

1 Th´eor`eme de Molien 2

2 Application en th´eorie des invariants 3

2.1 Introduction . . . 3 2.2 S´eries de Molien [Muk03] . . . 4 2.3 Quelques exemples simples [Muk03], [CLO04] . . . 5

R´ef´erences 6

(2)

1 Th´eor`eme de Molien

Th´eor`eme 1

Soitu∈GL_n(_C). PourP∈ A=_C[X₁, ...,X_n]on poseσ(u)(P) =P(u⁻¹(X₁, ...,X_n)^t). Alors :

1. L’applicationσ :GL_n(_C)→ _Aut(A)est bien définie et est un morphisme de groupes.∀k∈ _N, ce morphisme induit, par restriction, un morphismeσ_k : GLn(_C) → Aut(A_k)o ù A_k désigne l’ensemble des polyn ômes homogènes de degré k.

2. Si G est un sous-groupe fini deGLn(_C), G agit aussi surA_ket on a : 1

|G|

∑

g∈G

1

det(I_n−gX) =

∑

∞ k=0

dim(A_k^G)X^k,

o `uA^G_k = {P∈ A_k | ∀g∈ Gσ_k(g)(P) =P}.

D´emonstration : 1. Soientu,v∈GLn(_C)etP∈A=_C[X1, ...,Xn], alors :

σ(u◦v)(P) =P(v⁻¹◦u⁻¹(X₁, ...,Xn)^t) =σ(u)(P(v⁻¹(X₁, ...,Xn)^t)) =σ(u)◦σ(v)(P). Commeσ(id) = id, on en d´eduit que∀u∈ GLn(_C), σ(u)est inversible, d’inverseσ(u⁻¹). Lesσ(u)

étant linéaires,σ:GLn(_C)→Aut(A)est bien définie et est un morphisme de groupes.

Notonsu⁻¹= (u⁻¹_i,j )_16i,j6n. Alors, en ´ecrivant σ(u)(P) =P(

∑

n i=1

u_1,i⁻¹Xi, ...,

∑

n i=1

u⁻¹_n,iXi),

on remarque que le degr´e de P est invariant sous l’action de GLn(_C). En particulier, ∀k ∈ _Net

∀u∈GLn(_C), on aσ(u)(A_k)⊂ A_k. On obtient donc un morphisme σ_k :GLn(_C)−→ Aut(A_k)

u7−→σ(u)_|A

k

2. Considérons désormaisGun sous-groupe fini deGLn(_C), agissant surA_kvia le morphismeσ_k|G(que je noteraiσ_kaussi, par commodité).

D’après le théorème de Lagrange, le polyn ômeX^|G|−1, qui est scindé à racines simples surC, est un polyn ôme annulateur deg, ∀g∈G. Par conséquent, les éléments deGsont diagonalisables.

Soit g ∈ G. Il existe donc une matriceu ∈ GLn(_C) et des complexes λ₁, ...,λn tels queugu⁻¹ = diag(λ₁, ...,λn).

Par suite,

1

det(In−gX) =

∏

n i=1

1 1−λ_iX =

∏

n i=1

∑

∞ l=0

λ^l_iX^l

!

=

∑

∞ k=0

v_kX^k, o `uvk= _∑

k₁+...+kn=k

λ^k₁¹...λ^knⁿ.

D’autre part, Tr(σ_k(g⁻¹)) =Tr(σ_k(ug⁻¹u⁻¹))carσ_k(g⁻¹)etσ_k(ug⁻¹u⁻¹)sont conjugu´es dans Aut(A_k). Or,σ_k(ug⁻¹u⁻¹)(X₁^k¹...X^knⁿ) =λ^k₁¹...λ^knⁿX^k₁¹...Xn^kⁿet{X₁^k¹...X^knⁿ|k1+...+kn =k}est une base deAk. Il s’ensuit que,

Tr(σ_k(g⁻¹)) =

∑

k₁+...+k_n=k

λ₁^k¹...λ^k_nⁿ =v_k, et donc,

1

det(In−gX) =

∑

∞ k=0

Tr(σ_k(g⁻¹))X^k.

La conclusion est alors une conséquence du lemme suivant, qui sera démontré à la fin : Lemme 2

(3)

En effet, on a alors : 1

|G|

∑

g∈G

1

det(In−gX) = ¹

|G|

∑

g∈G

∑

∞ k=0

Tr(σ_k(g⁻¹))X^k

=

∑

∞ k=0

1

|G|

∑

g∈G

Tr(σ_k(g⁻¹))

! X^k

=

∑

∞ k=0

dim(A^G_k)X^k.

D´emonstration du lemme : Posons f = _|G|¹ _∑

g∈G

σ_k(g), dont la trace est exactement _|G|¹ ∑

g∈GTr(σ_k(g)). On va montrer que f est une pro- jecteur surA^G_k ce qui suffira pour conclure.

– SoitP∈ A^G_k. Alors,∀g∈G,σ_k(g)(P) =Pet donc f(P) =P. Cela montre queA^G_k ⊂Im(f)_, – SoitP∈Im(f). Alors,P= f(Q)pour un certainQdansA_k. Par suite,∀h∈G,

σ_k(h)(P) = ¹

|G|

∑

g∈G

σ_k(hg)(Q) = f(Q) =P.

En cons´equence, Im(f) =A^G_k et f²= f.

2 Application en th´eorie des invariants

C’EST INFORMEL, CE SOT JUSTE DES NOTES SUR CE QUE JE PENSE AVOIR COMPRIS DES REFERENCE FOURNIT PAR IVORRA

2.1 Introduction

Le théorème de Molien ne permet pas seulement de calculer les dimensions des sous-espaces d’invariants, il apporte aussi des renseignements plus profonds sur la structure de l’algèbre d’invariants C[X₁, . . . ,Xn]^G.

Deux exemples :

1. Considérons l’action du groupe symétrique S_n. Le théorème de structure des polyn ômes symétriques affirme queC[X₁, . . . ,Xn]^Sⁿ = _C[σ₁, . . . ,σn]o ù lesσ_i,i = 1 . . .n, désignent les polyn ômes symétriques

´el´ementaires.

2. Si l’on s’intéresse maintenant à l’action du groupe alternéA_n, on peut montrer que tout polyn ôme invariant par cette action s’écrit sous la formeA+∆BavecA,Bdes polyn ômes symétriques et

∆= _∏

16i<j6n

(Xi−Xj). Cela peut encore s’exprimer de la fac¸on suivante :

C[X₁, . . . ,Xn]^Aⁿ =_C[σ₁, . . . ,σn]⊕_∆C[σ₁, . . . ,σn]

De manière générale, dès queGest fini, l’algèbre admet une décomposition dite d’Hironaka, c’est-à-dire de la forme

C[X₁, . . . ,X_n]^G=⊕^t_i₌₁η_iC[θ₁, . . . ,θ_n],

avecη₁, . . . ,η_r,θ₁, . . . ,θ_ndes polyn ˆomes. Lesη_i sont appel´es les invariants secondaires et lesθ_i les invariants primaires.

(4)

2.2 S´eries de Molien [Muk03]

D´efinition 3

Un anneauRmuni d’une décomposition en somme directR = ⊕_n_∈_ZRnvérifiant RnRm ⊂ Rn+m est appelé un anneau gradué. LesR_nsont appelés les composantes homogènes deR.

En reprenant les notations du théorème de Molien, l’anneauAdes polyn ômes à plusieurs indéterminées est naturellement gradué :A=⊕_d_∈_NA_d. Il en est de même de l’algèbre des invariants deAsous l’action d’un groupeG. En effet on a :

A^G= ⊕_d_∈_NA^G∩A_d.

La série de Molien (ou de Hilbert ou de Poincaré) d’un groupeGest la série génératrice des dimensions des composantes homogènes deA^G(o ù l’action deGest celle définie dans le théorème de Molien).

D´efinition 4

La s´erie de Molien d’un groupeG(fini) est la s´erie formelle :

M_G(T) =

∑

d>0

(dim(A^G∩A_d))T^d.

Exemples : Reprenons les deux exemples pr´ec´edents :

1. SiG=S_n, un élément deA^G∩Ad, ie un polyn ôme symétrique homogène de degréd, est combinaison linéaire de mon ômesσ₁^k¹. . .σ_n^kⁿde degré totaled. On en déduit donc que :

MG(T) =

∑

d>0

∑

k₁+···+nk_n=d

1

!

T^d= ¹

(1−T). . .(1−Tⁿ)^. 2. SiG=A_n, un raisonnement similaire conduit `a

MG(T) = ¹+Tⁿ⁽ⁿ²⁻¹⁾ (1−T). . .(1−Tⁿ)^.

Il est important de noter que, dans ces deux exemples, les puissances deTprésentes au dénominateur co¨ıncident avec les degrés des polyn ômes symétriques élémentaires (invariants primaires deGdans les deux cas)¹.

Ce fait, qui n’est pas anodin, illustre l’importance des séries de Molien dans l’étude de l’algèbre des invariants (”The Molien seriesmeasures its size and shape” [Muk03], page 12.) :

Th´eor`eme 5

Si A^G est engendré par des polyn ômes homogènes f₁, . . . ,fr de degrés d₁, . . . ,dr, alors la série de Molien deGest le développement en série formelle d’une fraction rationnelle de la forme

F(T)

(1−T^d¹). . .(1−T^dⁿ)^, o `uF(T)∈_Z[T].

D´emonstration : Voir [Muk03] page 12².

1. On constate aussi qu’au num´erateur les puissances correspondent aux degr´es des invariants secondaires :{1}ou{1,∆} selon l’exemple.

2. Je crois qu’une erreur de frappe s’est glissée dans le livre : lors de l’hérédité je pense qu’il faut lireh 7→ frhet non h7→ f−rh.

(5)

C’est là qu’intervient le théorème de Molien : en donnant une formule explicite de la série de Mo- lien sous forme d’une fraction rationnelle, il permet de savoir o ù chercher les invariants ( dans quelles composantes homogènes) !³

2.3 Quelques exemples simples [Muk03], [CLO04]

Exemple 1 : Considérons le sous-groupe deGLn(_C)le plus simple, à savoirG={−In,In}. Par le théorème de Molien, on a :

M_G(T) = ¹ 2

1

(1−T)ⁿ + ¹ (1+T)ⁿ

.

Par définition de l’action deG, un polyn ômePestG-invariant si et seulement siP(X1, . . . ,Xn) =P(−X1, . . . ,−Xn). On en déduit immédiatement queA^Gest engendré par les polyn ômes homogènes de degré pair.

Plac¸ons nous dans le casn = 2, de sorte que A^G est engendr´e par X²₁,X²₂ et X1X2. Essayons de retrouver cela par la formule de Molien.

La formule ci-dessus, pourn=_{2, donne}

MG(T) = ¹+T²

(1−T²)² = ¹−T⁴ (1−T²)³^. Le dénominateur suggère donc la présence des trois générateurs de degré 2.

A première vue il y a escroquerie, puisque dans la dernière égalité, on s’est arrangé pour faire ap- paraˆıtre au dénominateur les trois facteurs(1−T²)³ que l’on attendait. Cependant, si on raisonne par analogie avec ce que l’on a vu sur l’exemple du groupe alterné, on peut se dire, à la vue de l’expression

1+T²

(1−T²)², queA^Gpossède deux invariants primaires de degré 2 (dénominateur) et un invariant secondaire de degré 2 (numérateur).

En fait on a⁴:

A^G=_C[X²₁,X₂²]⊕X₁X₂C[X²₁,X₂²]. On remarque alors que :

1. A^G∩A_d= (_C[X²₁,X₂²])∩A_d⊕(X₁X2C[X₁²,X²₂])∩A_d 2. (_C[X²₁,X₂²])∩A_dest trivial sidest impair.

Soit S = _C[X,Y] un anneau de polyn ôme en deux variables que l’on munit d’une nouvelle graduation en posant deg(X) = deg(Y) = 2⁵. On dispose alors d’un isomorphisme d’algèbre graduée (ie un morphisme d’algèbre qui préserve les degrés) :

ψ:S−→_C[X₁²,X²₂] X7−→X²₁ Y7−→ X₂²

En particulier,S_2dest isomorphe (comme espace vectoriel) à(_C[X²₁,X₂²])_2d= (_C[X²₁,X₂²])∩A_2dpour tout d. Ce dernier est donc de même dimension que l’espace des polyn ômes homogènes de degréden deux variables (voir la note 5), c’est-à-dire(^d⁺_d¹).

Maintenant, la multiplication parX₁X₂est un isomorphisme de(_C[X²₁,X₂²])∩A_ddans(X₁X₂C[X₁²,X²₂])∩

3. Voilà... deux paragraphes de trucs inutiles pour l’agreg avec, comme ultime conclusion, une application finalement assez vague du théorème de Molien...

4. cela se déduit du fait queA^Gest engendré par les polyn ômes homogènes de degré pair

5. On aS_dréduit à zéro pourdimpair etS_2dqui est l’ensemble des polyn ômes homogènes de degrédpour la graduation

”classique”.

(6)

A_d+2, leurs dimensions sont donc ´egales. Au final, on obtient :

M_G(T) =

∑

d∈_N

dim((_C[X₁²,X₂²])∩A_2d⊕(X₁X₂C[X²₁,X²₂])∩A_2d)T^2d

=

∑

d∈_N

dim((_C[X²₁,X₂²])∩A_2d) +dim((X₁X₂C[X²₁,X₂²])∩A_2d)T^2d

=

∑

d∈_N

d+1 d

T^2d+

∑

d>2

dim((_C[X₁²,X²₂])∩A_2d−2)T^2d

= ¹

(₁−T²)² +T²

∑

d∈_N

d+1 d

T^2d

= ¹+T² (₁−T²)²

Je pense que cet argument s’adapte pour montrer le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 6 ([Vac])

Si la d´ecomposition d’Hironaka deC[X₁, . . . ,Xn]^Gest :

C[_X₁_{, . . . ,}_X_n]^G =⊕_i^t₌₁η_iC[θ₁, . . . ,θ_n]_, avec lesθ_ide degr´ed_i et lesη_jde degr´ee_jalors,

M_G(T) = ^∑^j^T

e_j

∏i(1−T^d^j)^.

R´ef´erences

[CLO04] D. A. COX, J. LITTLEet D. O’SHEA–Using algebraic geometry, Springer, 2004.

[Muk03] S. MUKAI–An introduction to invariants and moduli, Cambridge University, 2003.