15 Th´ eor` eme de l’´ el´ ement primitif

15 Th´ eor` eme de l’´ el´ ement primitif

Proposition. Soit K →L une extension de degr´e fini. On note [L:K]_s le nombre de K-morphismes de L dans K¯, o`u K¯ est une clˆoture alg´ebrique de K.

On a 1 6 [L : K]_s 6 [L : K], et [L : K]_s = [L : K] si et seulement si l’extension K →L est s´eparable.

On dira queK →Lest s´eparable si tout ´el´ement deLest s´eparable sur K,i.e. annul´e par un polynˆome `a coefficients dans K dont toutes les racines sont distinctes dans ¯K (on dira aussi qu’un tel polynˆome est s´eparable).

Preuve.

Puisque K → L est de degr´e fini, on peut ´ecrire que L = K[x₁, ..., x_n]. On montre par r´ecurrence que les extensions interm´ediaires L_k = K[x₁, ..., x_k] satisfont les propri´et´es annonc´ees.

Pour k= 0, c’est trivial, car [K :K]_s = [K :K] = 1 et l’extension K→K est s´eparable.

Supposons que les propri´et´es sont v´erifi´ees pour L_k, montrons qu’elles le sont pour L_k+1 = L_k[x_k+1]. En premier lieu, [L_k+1 : K]_s = [L_k+1 : L_k]_s[L_k : K]_s. En effet, tout K- morphismeL_k+1 →K¯ est obtenu en prolongeant unK-morphismeL_k→K. Par hypoth`ese de¯ r´ecurrence, [L_k:K]_s6[L_k:K]. De plus, [L_k+1:L_k]_sest le nombre de racine distinctes (dans K) du polynˆome minimal de¯ x_k+1 surL_k, tandis que [L_k+1 :L_k] est son degr´e. On en d´eduit que [L_k+1:L_k]_s6[L_k+1:L_k], ainsi on a bien [L_k+1:K]_s6[L_k+1 :L_k][L_k:K] = [L_k+1 :K].

V´erifions maintenant la deuxi`eme point. Si K → L<sub>k+1</sub> est s´eparable, alors K → L<sub>k</sub> est aussi s´eparable donc [L<sub>k</sub> : K]<sub>s</sub> = [L<sub>k</sub> : K] (par hypoth`ese de r´ecurrence). De plus, x_k+1 est s´eparable sur K donc sur L_k, par suite [L_k+1 : L_k]_s = [L_k+1 : L_k]. On a donc bien [L_k+1 : K]_s = [L_k+1 : K]. Maintenant si K → L_k+1 n’est pas s´eparable, il existe un

´el´ement x ∈ L_k+1 qui n’est pas s´eparable. On a alors [K(x) : K]_s < [K(x) : K], puis [L_k+1:K]_s<[L_k+1:K].

Th´eor`eme. Toute extension de degr´e fini s´eparable est monog`ene.

Preuve.

Soit K → L une telle extension et notons n = [L : K]_s = [L : K]. On veut montrer qu’il existe un ´el´ementx∈L de degr´en surK (on aura alors L=K[x]).

Par hypoth`ese, il existe des K-morphismes deux `a deux distincts σ₁, ..., σ_n de L dans ¯K.

On a donc Ker(σ_i−σ_j) ( L d`es que i 6= j. Il s’ensuit que S

i<jKer(σ_i−σ_j) ( L, cf. la premi`ere proposition du d´eveloppement 6. Montrons quex∈L\S

i<jKer(σ_i−σ_j) convient.

Le polynˆome minimal de x sur K admet tous les σ_i(x) pour racines (dans ¯K), qui sont

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deux `a deux distincts. Ceci prouve que x est de degr´e > n sur K, en fait de degr´en (car [K[x] :K]6[L:K] =n).

Le¸cons possibles

116 Polynˆomes irr´eductibles `a une ind´etermin´ee. Corps de rupture. Exemples et applications.

118 Racines des polynˆomes `a une ind´etermin´ee. Relations entre les coefficients et les racines d’un polynˆome. Exemples et applications.

120 Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie).

Rang. Exemples et applications.

(132 Formes lin´eaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.) R´ef´erences

[Esc00]

[CL05]

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