• Aucun résultat trouvé

133 – Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie.

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "133 – Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie."

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

133 – Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie.

« Si S n’est pas fermé, la topologie va coller aux doigts… Ca va être gluant, quoi. »

Le plan :

I) Définition et généralités.

Endomorphisme adjoint. Endomorphismes remarquables. Matrice de l’adjoint. Exemples.

Noyaux et images. Matrice de Gram, orthogonalisation. Décomposition d’Iwasawa.

II) Réduction.

1) Endomorphismes normaux.

Espaces stables. Caractérisation. Réduction.

2) Autoadjoints.

Espaces stables. Spectre. Application aux formes quadratiques.

3) Antisymétriques.

Réduction.

4) Isométries de E.

5) Applications.

Homéomorphisme de Sn sur Sn++, de Hn sur Hn++. Racine carrée d’une matrice positive.

III) Groupe orthogonal.

Connexité, décomposition polaire. O(p,q). O(p,q)/SO0(p,q)≈Z/2Z x Z/2Z. Décomposition de Cartan. Compacité, points maximaux de la boule fermée unité dans Mn(R). Centre et commutateurs, groupe dérivé. Etude de SO(3) : sous-groupes finis, automorphismes intérieurs, simplicité.

Les développements :

A10 : SO(3) est simple

A11 : Réduction des endomorphismes normaux A23 : Décomposition polaire

La bibliographie :

[Go1]-[Ser]-[Ale]-[FG3]-[MnT]-[Per]-[FrQ]

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 34.93 KB )

Documents relatifs

IV. Espace vectoriel de dimension finie

× ajoutant à cette matrice une colonne (resp. ligne) qui est une CL des autres colonnes (resp. lignes) de cette matrice,. × ajoutant à l’une des colonnes (resp. lignes) de cette

IV. Espace vectoriel de dimension finie

× ajoutant à l’une des colonnes (resp. lignes) de cette matrice une CL des autres colonnes (resp.. les colonnes) d’une matrice ne modifient pas son rang. Tous les autres blocs sont

Endomorphismes d’un espace euclidien

Réciproquement, tout endomorphisme de E ayant une telle matrice dans une base orthonormale est un endomorphisme orthogonal2. Théorème : diagonalisation par

Suite des noyaux it´er´es Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n

Si, ` a la fin de la preuve, on forme la base de E dans le mˆ eme ordre mais en multipliant les vecteurs de la k-i` eme colonne par t k−1 , on trouve que la matrice est multipli´ ee

Soit E un espace vectoriel euclidien.

Les endomorphismes autoadjoints et orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien sont les symétries orthogonales de

Endomorphismes d'un espace euclidien

Soient A et B deux matrices symétriques réelles dont les valeurs propres sont positives (resp. strictement positives).. Montrer que F (A) est un segment dont vous expliciterez

Espace vectoriel euclidien

Dans tout ce paragraphe, sauf précision contraire, E un espace euclidien donc de dimension finie.. Exprimer les coefficients de la matrice de f

TD10 : Espace vectoriel euclidien

Lycée Chrestien de Troyes CPGE PC mathématiques M