C. Distance d’un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2009

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP

(Durée de l’épreuve : 4 heures)

L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai- sons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Théorème de Müntz

On désigne parC([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,1]. Pour toutλÊ0, on noteφ_λl’élément deC([0,1]) défini parφ_λ(x)=x^λ. Par convention on a posé 0⁰=1 de sorte queφ0est la fonction constante 1.

Soit (λk)k∈Nune suite de réelsÊ0 deux à deux distincts. On noteW le sous- espace vectoriel deC([0,1]) engendré la famille (φλ_k)k∈N. Le but du problème est d’établir des critères de densité de l’espaceW dansC([0,1]) pour l’une ou l’autre des deux normes classiquesN_∞ouN₂définies par :

N_∞(f)= sup

x∈[0,1]|f(x)| et N₂(f)= µZ1

0 |f(x)|²d x

¶¹₂ .

La question préliminaire et les parties A, B, C et D sont indépendantes les unes des autres.

Question préliminaire

1) Montrer que (φλ)λÊ0est une famille libre deC([0,1]).

A. Déterminants de Cauchy

On considère un entiern>0 et deux suites finies (ak)1ÉkÉnet (bk)1ÉkÉnde réels telles queak+bk6=0 pour toutk∈{1,2,...,n}. Pour tout entiermtel que 0<mÉn, ledéterminant de Cauchyd’ordremest défini par :

Dm=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 a1+b1

1

a1+b2 ··· _a1+¹_bm

1 a2+b1

1

a2+b2 ··· _a2+¹_bm

... ... ...

1 a_m+b1

1

a_m+b2 ··· _am+¹_bm

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ .

On définit la fraction rationnelle :

R(X)=

n−1

Y

k=1

(X−ak)

n

Y

k=1

(X+bk)

·

2) Montrer que siR(X) est de la formeR(X)=

n

X

k=1

A_k X+bk

, alors

AnDn=R(an)Dn−1.

On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir deDnen remplaçant la dernière colonne par









 R(a1) R(a₂)

...

R(a_n)









 .

3) En déduire que

D_n= Y

1Éi<jÉn

(a_j−ai)(b_j−bi) Y

1ÉiÉn 1ÉjÉn

(ai+bj) ·

B. Distance d’un point à une partie dans un espace normé

SoitE un espace vectoriel normé par une normek · k. On rappelle que la distance d’un élémentx∈Eà une partie non videAdeEest le réel notéd(x,A) défini par :

d(x,A)=inf

y∈Akx−yk.

4) Montrer qued(x,A)=0 si et seulement sixest adhérent àA.

5) Montrer que si (A_n)_nÊ0 est une suite croissante de parties de E et si A=S

nÊ0Analorsd(x,A)=limnd(x,An).

On considère un sous-espace vectorielV dedimension finiedeE, et on note B={y;ky−xk É kxk}.

6) Montrer queB∩V est compacte et qued(x,V)=d(x,B∩V) pour tout x∈E.

7) En déduire que pour tout x ∈ E, il existe un élément y ∈ V tel que d(x,V)= kx−yk.

C. Distance d’un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien

Dans cette partie, on suppose que la norme sur l’espace vectorielE est dé- finie à partir d’un produit scalaire (·|·) surE :kxk =p

(x|x).

8) Montrer que siV est un sous-espace vectoriel dedimension finiedeE, alors pour tout x∈E, la projection orthogonale dex surV est l’unique élémenty∈V vérifiantd(x,V)= kx−yk.

Pour tout suite finie (x₁,x₂,...,x_n)∈Eⁿon désigne parG(x₁,x₂,...,x_n) le déter- minant de lamatrice de Gramd’ordrendéfinie par :

M(x₁,x₂,...,xn)=











(x₁|x₁) (x₁|x₂) ··· (x₁|xn) (x₂|x₁) (x₂|x₂) ··· (x₂|xn)

... ... ...

(x_n|x1) (x_n|x2) ··· (x_n|xn)









 .

9) Montrer queG(x₁,x₂,...,x_n)=0 si et seulement si la famille (x₁,x₂,...,x_n) est liée.

10) On suppose que la famille (x₁,x2,...,x_n) est libre et l’on désigne parV l’espace vectoriel qu’elle engendre. Montrer que, pour toutx∈E,

d(x,V)²=G(x₁,x2,...,x_n,x) G(x₁,x₂,...,x_n) ·

D. Comparaison des normes N

et N

Pour toute partieAdeC([0,1]) on noteA^∞etA²les adhérences deApour les normesN_∞etN2, respectivement. Pour f ∈C([0,1]) la notationd(f,A) dé- signe toujours la distance def àA relativement à la norme N₂(on ne considé- rera jamais, dans l’énoncé, la distance d’un élément à une partie relativement à la normeN_∞).

11) Montrer que pour tout f ∈C([0,1]),N2(f)ÉN_∞(f). En déduire que pour toute partieAdeC([0,1]) on aA^∞⊂A².

On considère l’ensembleV0=©

f ∈C([0,1]) ;f(0)=0ª

, et on rappelle queφ0

désigne la fonction constante 1.

12) Montrer queφ₀∈V₀².

13) En déduire queV₀ est dense dansC([0,1]) pour la normeN₂, mais n’est pasdense pour la normeN_∞.

14) Montrer que siV est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé, alors son adhérenceV est également un espace vectoriel.

15) Montrer qu’un sous-espace vectorielV deC([0,1]) est dense pour la norme N_∞si et seulement si pour tout entiermÊ0,φ_m∈V^∞.

16) En déduire qu’un sous-espace vectorielV deC([0,1]) est dense pour la normeN2si et seulement si pour tout entiermÊ0,φm∈V².

E. Un critère de densité de W pour la norme N

Pour toutn∈N, on noteWnl’espace vectoriel engendré par la famille finie (φλ_k)0ÉkÉn.

17) Montrer que l’espaceW est dense dansC([0,1]) pour la norme N₂ si et seulement si limnd(φµ,Wn)=0 pour tout entierµÊ0.

18) Montrer que pour toutµÊ0, d(φµ,Wn)= 1

p2µ+1

n

Y

k=0

|λ_k−µ| λ_k+µ+1. 19) Montrer que pour toutµ Ê0, la suite³ |λ_k−µ|

λ_k+µ+1

´

k∈N tend vers 1 si et seulement si la suite (λk)k∈Ntend vers+∞.

(On pourra pour cela étudier les variations de la fonction x∈[0,µ]7→ µ−x

x+µ+1·)

20) En déduire que l’espaceW est dense dansC([0,1]) pour la normeN₂si et seulement si la sérieX

k

1

λ_k est divergente.

F. Un critère de densité de W pour la norme N

21) Montrer que siW est dense dansC([0,1]) pour la normeN_∞, alors la série X

k

1

λ_k est divergente.

22) Soitψ=Pn

k=0akφλ_kun élément quelconque deWn. Montrer que siλkÊ1 pour toutk∈{0,1,...,n}, alors pour toutµÊ1, on a :

N_∞(φµ−ψ)ÉN₂¡

µφµ−1−

n

X

k=0

a_kλ_kφ_λk−1¢ .

23) On suppose que la suite (λk)k∈Nvérifie les deux conditions suivantes : ((i) : λ₀=0

(ii) : λkÊ1 pour toutkÊ1.

Montrer que sous ces conditions, si la sérieX

k

1

λ_k est divergente, alorsW est dense dansC([0,1]) pour la normeN_∞.

24) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible :

(ii^′) : inf

kÊ1λ_k>0.

F