A 2007 MATH. I PC

A 2007 MATH. I PC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2007

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 3 heures)

L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC.

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Pseudo-inverse et matrice stochastique

Pour K = R ou C, on note Mn,m(K) l’ensemble des matrices à n lignes et m colonnes à coefficients dans K. Pour toute matrice M ∈ M^{n, n}(R), on appelle endomorphisme canoniquement associé à M , l’endomorphisme de Rⁿ, noté m, dont M est la matrice dans la base canonique de Rⁿ.

Si M ∈ Mn, m(K), M (i, j) représente le coefficient en ligne i et colonne j de la matrice M . On note I_n la matrice identité de M_n,n(R). La matrice (colonne) de M_{n, 1}(R) dont tous les coefficients valent 1 est notée Jn. Pour M ∈ Mn, r(K), on considère la norme

kM k = max

1≤i≤n r

X

j=1

|M (i, j)|.

Définition 1 On dit qu’une matrice M ∈ M_n,m(R) est positive (respective- ment strictement positive), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respec- tivement strictement positifs).

Une matrice positive M ∈ M_n,m(R) est dite stochastique lorsque M Jm= J_n.

On désigne par Kn ⊂ M1,n(R) l’ensemble des matrices lignes stochas- tiques.

On admet le théorème suivant :

Théorème 1 (CCMP 2006, filière MP) Soit P une matrice stochastique strictement positive de Mn, n(R). Le réel 1 est valeur propre simple de P et il existe un unique élément de K_n, noté X∞, tel que

X_∞ = X_∞P.

De plus, quel que soit X ∈ Kn, X∞= lim

k→+∞

1 k

k−1

X

j=0

XP^j.

L’objectif de ce problème est de trouver une méthode de calcul de X∞ en utilisant la notion de pseudo-inverse.

Définition 2 Soit A ∈ M_n,n(R), une matrice A⁰ ∈ M_n,n(R) est un pseudo- inverse de A lorsque les trois propriétés suivantes sont satisfaites :

AA⁰ = A⁰A (1)

A = AA⁰A (2)

A⁰ = A⁰AA⁰. (3)

Dorénavant, P est une matrice stochastique, strictement positive, de M_n,n(R).

I Préliminaires

h 1 - Montrer que kM N k ≤ kM k kN k pour toutes les matrices M ∈ Mn, r(K) et N ∈ M_{r, m}(K).

h 2 - Montrer que kP k = 1.

h 3 - Montrer que pour tout k ≥ 1, P^k est une matrice stochastique.

II Pseudo-inverse

Soit A une matrice de M_{n, n}(R) et a l’endomorphisme de Rⁿ canonique- ment associé.

h 4 - Montrer que l’existence d’un pseudo-inverse implique que rang(a) = rang(a²).

Inversement, on suppose maintenant que rang(a) = rang(a²). On note r cet entier.

h 5 - Montrer que le noyau et l’image de a sont en somme directe : Rⁿ = Im(a) ⊕ Ker(a).

h 6 - Montrer qu’il existe B ∈ M_r,r(R), B inversible et W ∈ Mn,n(R), W inversible, telles que

A = W B 0 0 0

 W⁻¹.

h 7 - Montrer que A admet au moins un pseudo-inverse.

Considérons un pseudo-inverse quelconque A⁰ de A et a⁰ l’endomorphisme canoniquement associé à A⁰.

h 8 - Montrer que Ker(a) et Im(a) sont stables par a⁰ et montrer qu’il existe D ∈ M_r,r(R) telle que

A⁰ = W D 0 0 0

 W⁻¹.

h 9 - Montrer que aa⁰ est un projecteur dont on précisera le noyau et l’image en fonction de ceux de a et préciser ce que vaut W⁻¹(AA⁰)W .

h 10 - Montrer que A admet au plus un pseudo-inverse.

III Calcul de X

À tout endomorphisme u de Rⁿ, on associe l’endomorphisme u_c de Cⁿ défini par

u_c(x + iy) = u(x) + iu(y),

pour tout x, y appartenant à Rⁿ. Dans les questions suivantes, on note a l’endomorphisme de Rⁿ dont la matrice dans la base canonique de Rⁿ est A = I_n−P .

h 11 - Montrer que a_c ◦ a_c = (a²)_c.

h 12 - Montrer que

a_c(Cⁿ) = a²_c(Cⁿ).

h 13 - Montrer que rang(a) = rang(a²) = n − 1.

On note A⁰, le pseudo-inverse de A dont l’existence et l’unicité sont ga- ranties par ce qui précède.

h 14 - Soit C ∈ M_n,n(R) inversible. Établir, pour tout entier non nul k, l’identité

k−1

X

j=0

(I_n−C)^j = (I_n−(I_n−C)^k)C⁻¹.

h 15 - Établir, pour tout entier non nul k, l’identité suivante :

k−1

XP^j = (In−P^k)A⁰+ k(In−AA⁰).

h 16 - Montrer que

lim

k→+∞

1 k

k−1

X

j=0

P^j existe et donner sa valeur.

h 17 - Montrer que (In−AA⁰) est stochastique et que (In−AA⁰)A = 0.

h 18 - Montrer que In−AA⁰ = JnX∞.

FIN DU PROBLÈME