A 2007 MATH. II PSI

A 2007 MATH. II PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2007

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l’épreuve : 3 heures)

L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI.

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Majoration de polynômes trigonométriques

Soit p un réel strictement supérieur à 1 et q = p/(p − 1). On admet que si u et v sont deux fonctions continues, à valeurs réelles, définies sur l’intervalle [c, d] ⊂ R, alors

Z d c

u(x)v(x) dx    

≤

Z d c

|u(x)|^p dx

^1/pZ d c

|v(x)|^q dx

^1/q

. (1)

Soit n un entier non nul, r = (r₁, · · · , r_n) ∈ Rⁿ où pour tout k, r_k est un réel positif et r 6= 0. On introduit sur Rⁿ, les deux normes suivantes :

krk = (r₁²+ . . . + r_n²)^1/2 et krk₁ =

n

X

j=1

|r_j|.

Pour tout x ∈ R et tout α = (α₁, · · · , α_n) ∈ Rⁿ, on pose

P_r(x, α) =

n

X

k=1

r_kcos(kx − α_k).

Si s est un réel positif, on note I_s(α) =

Z 2π 0

|P_r(x, α)|^2s dx.

Dans la suite, t désigne un réel supérieur ou égal à 1.

L’objectif de ce problème est de montrer que sup

x∈Rⁿ

α∈Rinfⁿ|Pr(x, α)|

est fini et d’obtenir un majorant fonction de r.

I Préliminaires

h 1 - Soit ϕ(λ) = λ^2t(1 − λ)² pour λ ∈ [0, 1]. Calculer max

λ∈[0, 1]ϕ(λ).

h 2 - Soit ψ la fonction définie sur R par ψ(x) = |x|^2t. Montrer que ψ est de classe C² sur R et calculer ψ⁰ et ψ⁰⁰.

h 3 - Soit h : R → R une fonction de classe C². Prouver que l = |h|^2t est de classe C² sur R et calculer l⁰ et l⁰⁰.

II Propriétés de I

Pour α ∈ Rⁿ, on introduit la fonction L_α définie par Lα : [−1, 1] × Rⁿ −→ R

(ε, β) 7−→ I_t(α + εβ).

h 4 - Montrer que pour tout β ∈ Rⁿ, la fonction (ε 7→ L_α(ε, β)) est dérivable et exprimer sa dérivée sous forme d’intégrale.

h 5 - Montrer que pour tout β ∈ Rⁿ, la fonction (ε 7→ Lα(ε, β)) est deux fois dérivable et exprimer sa dérivée seconde sous forme d’intégrale.

h 6 - Établir que

I_t(α + β) − I_t(α) = Z 1

0

∂L_α

∂ε (ε, β) dε, puis montrer que I_t est continue sur Rⁿ.

h 7 - En utilisant les propriétés de L_α, montrer que les dérivées partielles

∂²It

∂α²_k pour k = 1, · · · , n, existent et les exprimer sous forme d’intégrales.

h 8 - Montrer que I_t est une fonction bornée sur Rⁿ, qui atteint son mini- mum.

h 9 - Montrer que pour tout β ∈ Rⁿ,

∂²L_α˜

∂ε² (0, β) ≥ 0 puis que

n

X

k=1

∂²I_t

∂α²_k( ˜α) ≥ 0.

h 10 - Établir alors l’inégalité suivante :

I_t( ˜α) ≤ (2t − 1) krk²I_t−1( ˜α). (2)

h 11 - Établir la majoration suivante : I_t( ˜α) ≤ 2π

(2t − 1)krk²t

.

III Propriétés de P

Dans cette partie, α est un élément quelconque de Rⁿ fixé.

h 12 - Établir les deux identités Z 2π

0

P_r(x, α) dx = 0 et Z 2π

0

|P_r(x, α)|² dx = πkrk².

h 13 - Montrer que la borne supérieure S = sup

x∈R

|P_r(x, α)| est finie et qu’il existe x_α∈ R tel que

|P_r(x_α, α)| = sup

x∈R

|P_r(x, α)|.

h 14 - Montrer que krk² ≤ 2S².

h 15 - Montrer que la fonction x 7→ P_r(x,α) est non identiquement nulle et n’est pas de signe constant.

h 16 - Soit λ ∈]0, 1[. Soit V_λ⁺ = {ξ ∈ [x_α, x_α+ 2π], |P_r(ξ, α)| = λS}. Montrer que V_λ⁺ est un ensemble compact non vide.

Soit b = min{ξ, ξ ∈ V_λ⁺}.

h 17 - Montrer qu’il existe a tel que :

a < x_α < b et b − a < 2π,

|P_r(a, α)| = |P_r(b, α)| = λS,

|Pr(x, α)| > λS pour tout x ∈]a, b[.

h 18 - Établir les relations

2(1 − λ)S =    

Z b a

∂P_r

∂x (x, α) dx     et



2(1 − λ)S2

≤ (b − a) Z b

a

∂P_r

∂x (x, α)    

2

dx.

h 19 - Établir l’inégalité suivante : Z b

a

∂P_r

∂x (x, α)    

2

dx ≤ π

n

X

k=1

k²r²_k.

IV Majoration

h 20 - Établir les inégalités suivantes : 2

π

krk²

n

P

k=1

k²r_k²

(1 − λ)² ≤ (b − a) ≤ I_t( ˜α)(λS)^−2t.

h 21 - Montrer qu’il existe une constante A, indépendante de n, r, t et ˜α, telle que l’inégalité suivante soit satisfaite :

S² ≤ At

n

X

k=1

k²r_k²

!1/t n

X

k=1

r_k²

!1−1/t

.