A 2007 MATH. II MP

A 2007 MATH. II MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2007

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l’épreuve : 4 heures)

L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Algèbres de Lie

Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à 1. On note M_{n, p}(C) l’espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à coefficients com- plexes.

On identifiera une matrice colonne X (un élément de M_{n, 1}(C)) et le vecteur de Cⁿ dont les composantes dans la base canonique de Cⁿ sont les coefficients de la matrice X. Pour M ∈ M_{n, n}(C), on note M l’endomor- phisme canoniquement associé de Cⁿ: M est l’endomorphisme de Cⁿ dont M est la matrice dans la base canonique de Cⁿ. Par ailleurs, E_λ(M ) est l’espace propre associé à la valeur propre λ de l’endomorphisme M .

Pour une matrice M ∈ M_{n, n}(C) de coefficients (mij, i, j = 1, · · · , n) et pour k = 0, · · · , n − 1, on appelle k-ième diagonale supérieure de M , notée D_k(M ), l’ensemble des coefficients (m_{i, i+k}, i = 1, · · · , n − k). Une diagonale supérieure D_k(M ) est dite nulle lorsque tous ses éléments sont nuls.

Si V et W sont deux espaces supplémentaires de Cⁿ, on note p_V la projec- tion sur V parallèlement à W : pour x = x_V + x_W avec x_V ∈ V et x_W ∈ W , p_V(x) = x_V. Pour un endomorphisme u de Cⁿ, on note u_V sa restriction à V .

De sorte que si i_V représente l’injection de V dans Cⁿ, u_V(y) = u(i_V(y)) pour tout y ∈ V .

I Algèbres de Lie

On appelle crochet de Lie de deux éléments X et Y de M_{n, n}(C) la ma- trice, notée [X,Y ], définie par

[X,Y ] = XY − Y X.

Définition 1 Soit U un sous-espace vectoriel de M_{n, n}(C). On note [U] l’es- pace vectoriel engendré par les crochets de Lie [X,Y ] lorsque X et Y décrivent U . On dit que U est une algèbre de Lie lorsque

[U ] ⊂ U . Soit U et V deux algèbres de Lie qui vérifient

[U ] ⊂ V ⊂ U . On souhaite prouver le théorème suivant.

Théorème 1 Si X ∈ Mn, 1(C) est une colonne propre pour toute matrice M dans V et si A est une matrice dans U alors AX est soit la matrice colonne nulle, soit une matrice colonne propre pour toute matrice M dans V. De plus, si pour M ∈ V, M X = λX alors M (AX) = λ(AX).

Soit X ∈ M_{n, 1}(C) une matrice colonne propre pour toute matrice M dans V, et soit A une matrice de U .

h 1 - Établir l’existence d’une forme linéaire λ sur V, à valeurs dans C, telle que pour tout M ∈ V, M X = λ(M )X.

h 2 - Montrer que pour tout M ∈ V, [M, A] appartient à V.

On considère la suite de matrices colonnes (Xk, k ≥ 0) définie par X₀ = X, X_k+1 = AX_k, pour tout k ≥ 0.

Pour M ∈ V, on considère la suite de nombres complexes (λ_k(M ), k ≥ 0) définie par

λ₀(M ) = λ(M )

λ_k+1(M ) = λ_k([M, A]), pour tout k ≥ 0.

h 3 - Démontrer, pour tout entier i ≥ 0 et pour tout M ∈ V, les identités suivantes :

M X_i =

i

X

j=0

C_i^jλ_i−j(M ) X_j (1)

[M, A]X_i =

i

X

j=0

C_i^jλ_i−j+1(M ) X_j. (2)

h 4 - On identifie dorénavant matrices colonnes et vecteurs de Cⁿ. Démon- trer qu’il existe un plus grand entier q tel que la famille de vecteurs {X₀, X₁, X₂, · · · , X_q} soit libre.

On note G l’espace vectoriel engendré par la famille {X₀, X₁, X₂, · · · , X_q}.

h 5 - Montrer que MG, AG et [M, A]_G sont des endomorphismes de G.

h 6 - Calculer la trace de [M, A]_G.

h 7 - Quelle est la matrice de [M, A]_G dans la base {X₀, X₁, X₂, · · · , X_q}?

h 8 - Pour M ∈ V, que vaut λ([M, A])?

h 9 - Établir le théorème 1.

II Algèbres de Lie résolubles

Définition 2 Soit U une algèbre de Lie et p un entier naturel non nul. On dit que U est une algèbre de Lie résoluble de longueur p lorsqu’il existe des algèbres de Lie U0, U₁, · · · , U_p telles que :

{0} = U_p ⊂ U_p−1 ⊂ · · · U₁ ⊂ U₀ = U (A) [U_i] ⊂ U_i+1 pour tout i ∈ {0, · · · , p − 1}. (B) On se propose de montrer le théorème suivant.

Théorème 2 U est une algèbre de Lie résoluble si et seulement s’il existe une matrice P inversible telle que, pour tout M ∈ U , P⁻¹M P est triangulaire supérieure.

Soit P une matrice inversible de M_{n, n}(C) et TP l’ensemble des matrices M ∈ M_{n, n}(C) telles que P⁻¹M P soit triangulaire supérieure.

h 10 - Traduire la propriété « il existe une matrice P inversible telle que pour tout M ∈ U , P⁻¹M P est triangulaire supérieure » en une propriété sur les endomorphismes canoniquement associés aux éléments de U .

h 11 - Montrer que T_P est une algèbre de Lie résoluble de longueur n.

On pourra considérer les sous-espaces N_k (0 ≤ k ≤ n) tels que N₀ = TP et pour tout entier k (1 ≤ k ≤ n), Nk est l’ensemble des ma- trices M ∈ T_P telles que les k diagonales supérieures D₀(P⁻¹M P ), D₁(P⁻¹M P ), . . . , et D_k−1(P⁻¹M P ) sont nulles.

Dans les questions 12 à 17, on suppose que U est une algèbre de Lie résoluble de longueur p = 1.

h 12 - Montrer que pour tout M, M⁰ ∈ U , on a M M⁰ = M⁰M .

h 13 - Soit r un entier non nul et une famille M₁, M₂, · · · , M_rd’éléments de U . Montrer qu’il existe un vecteur propre commun aux endomorphismes M₁, M₂, · · · , M_r.

h 14 - Montrer qu’il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes {M , M ∈ U }.

On note dorénavant :

U = {M , M ∈ U }.

Soit F et H deux espaces supplémentaires de Cⁿ et u et v deux endomor- phismes de Cⁿ. De plus, on suppose, d’une part, que F est stable par u et v et, d’autre part, que u et v commutent.

h 15 - Montrer les relations suivantes :

p_H u = p_Hu p_H et p_Hv = p_Hv p_H.

h 16 - Montrer que pHu p_H et pHv p_H commutent puis que pHu_H et pH v_H commutent.

h 17 - En procédant par récurrence sur n, établir le théorème 2 dans le cas p = 1.

Soit, maintenant, U une algèbre de Lie résoluble de longueur p > 1.

On suppose établi que pour toute algèbre de Lie résoluble de longueur in- férieure strictement à p, il existe un élément P ∈ M_{n, n}(C), inversible, tel que pour toute matrice M dans cette algèbre, P⁻¹M P soit triangulaire su- périeure.

h 18 - Montrer qu’il existe au moins un vecteur propre commun à tous les endomorphismes M , M ∈ U₁.

Soit X l’un de ces vecteurs propres. On note E l’espace vectoriel engendré par X et les éléments de la forme

A₁. . . A_kX où k est un entier non nul, A_j ∈ U pour tout j.

h 19 - Montrer que E est un espace vectoriel stable par tous les éléments de U et que tous les éléments de E sont des vecteurs propres communs à tous les endomorphismes de U₁.

Soit M, M⁰ ∈ U .

h 20 - Montrer que [M, M⁰]_E est une homothétie de trace nulle.

h 21 - Que peut-on en déduire?

Le théorème 2, dans le cas général, se prouve alors par les mêmes raisonne- ments qu’aux questions 14 et 17.

Fin du problème