Espace vectoriel euclidien

Cours Espaces vectoriels préhibertiens réels PC

I Espace préhilbertien réel

I.1 Produit scalaire.

Définition 1 : Soit E un -espace vectoriel.

On appelle forme bilinéaire sur E toute application  : E  E   qui est linéaire par rapport à la première composante et linéaire par rapport à la deuxième composante. C’est-à-dire :

 (x1,x₂, y)  E³,  ,  (x₁+ x₂, y) =  (x₁, y) +  (x₂, y)

 (x, y₁,y₂)  E³,  ,  (x, y₁+ y₂) =  (x, y₁) +  (x, y₂)

Une forme bilinéaire  sur E, est dite symétrique si :  (x,y)  E²,  (x,y) =  (y,x)

Une forme bilinéaire  sur E, est dite positive si :  x E,  (x,x)  0

Une forme bilinéaire  sur E, est dite définie si :  x E,  (x,x) = 0  x = 0

Définition 2 : Soit E un -espace vectoriel.

On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire, symétrique, définie et positive sur E Question 1: Si  est un produit scalaire sur E, montrer :  x E,  (x,0) = 0

Proposition 1 : Une application  : E  E   est un produit scalaire si et seulement si, 1.  (x1,x₂, y)  E³,  ,  (x₁+ x₂, y) =  (x₁, y) +  (x₂, y)

2.  (x,y)  E²,  (x,y) =  (y,x) 3.  x E \ {0},  (x,x) > 0

Notation : Le produit scalaire de deux vecteurs x et y est noté (x | y) ou x.y ou < x | y >

Définition 3 :  On appelle préhilbertien réel tout -espace vectoriel E muni d’un produit scalaire.

 On appelle espace euclidien sur tout espace préhilbertien réel de dimension finie.

I.2 Espaces préhilbertiens réels usuels

1. Produit scalaire canonique sur ⁿ :  x=(x1,…,xn)  ⁿ ,  y=(y1,…,yn)  ⁿ , (x | y) =

1 n

i i i

x y





2. Produit scalaire canonique sur _n,1() :  X _n,1() ,  Y _n,1() , (X |Y) =

1 n t

i i i

XY x y







3. Produit scalaire canonique sur _n() :  A  _n() ,  B _n() , (A |B ) =

1 , ij ij i j n



a b ^{= Tr}

 

^tAB

Questions

2. a<b . Produit scalaire canonique sur

  

^{a,b ,}



^{:  f}

 ^{ }

^{a,b ,}



^{,  g }

 ^{ }

^{a,b ,}



, (f | g) =

b a



fg 3. L’intervalle I contient au moins deux points, E = { f



^{I ,}



^{| f 2}est intégrable sur I } (f | g) =

   

I

f t g t dt



définit un produit

scalaire sur l’espace vectoriel E 4. E = [X]. (P | Q ) = ¹

0

( ) ( ) P t Q t dt



définit un produit scalaire sur [X].

I.3 Norme euclidienne associée à un produit scalaire.

Proposition 2 (Inégalité de Cauchy Schwarz) : Soit E un préhilbertien réel. Pour tout x  E, on note || x || =



^{x x|}



1.  (x,y)  E²,



^{x y|}



 || x || || y ||

2. Il y a égalité dans l’inégalité de Cauchy Schwarz si, et seulement si, la famille (x,y) est liée.

Proposition 3 (Inégalité triangulaire) : Soit E un préhilbertien réel.

1.  (x,y)  E², || x + y ||  || x || + || y ||

2. Il y a égalité dans l’inégalité triangulaire, et seulement si, il existe   ₊ tel que x=y ou y=x.

Proposition 4 (Norme euclidienne) : Soit E un préhilbertien réel.

L’application qui à tout vecteur x de E associe || x || =



^{x x|}



est une norme sur E appelée norme euclidienne associée au produit scalaire ( . | . )

Proposition 5 : Soit E un préhilbertien réel.

1.  (x,y)  E², || x + y ||²= || x ||² + || y ||² + 2 (x | y) et || x  y ||²= || x ||² + || y ||²  2 (x | y) 2.  (x,y)  E², (x | y) = 1

2( || x + y ||²  || x ||²  || y ||² ) et (x | y) = 1

4( || x + y ||²  || x  y ||² )

II Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel

II.1 Généralités.

Dans tout ce paragraphe, E un préhilbertien réel et le produit scalaire est noté (. | .)

 Deux sous-espaces vectoriels E₁ et E₂ de E sont dit orthogonaux si :  (x₁, x₂)  E₁  E₂ , (x₁ | x₂) = 0. On note alors E₁  E₂

 Si A une partie non vide de E, alors l’ensemble A^ = {xE |  y  A, (x | y) = 0} est un sous-espace vectoriel de E appelé orthogonal de A.

Question 5: Comparer A^ et (vect(A))^

Proposition 6 : F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

1. E^ = {0} 2. F  F^ ={0} 3. F  G  G^  F ^ 4. F 

 

^{F }

Questions : 6.F est un sev de dimension finie. x F^  ………..

7. Soient A et B deux matrices de n() telles que :  M  n (), Tr (AM) = Tr(BM). Montrer que : A = B

Définition 5:  Une famille

 

^x_{i i I} de vecteurs de E est dite orthogonale si les vecteurs de cette famille sont orthogonaux 2 à 2.

C’est-à-dire :  (i,j)  I², ………..

 Une famille

 

^x_{i i I} de vecteurs de E est dite orthogonale (ou orthonormée) si c’est une famille orthogonale dont tous ses vecteurs sont unitaires ( i  I, || x_i || = 1).

Proposition 7 :

1. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

2. La somme F d’une famille finie

 

Ei ₁ i pde sous-espaces vectoriels de E deux à deux orthogonaux est directe. Cette somme est notée F =

1 i

i pE



Question 8 : toute famille orthonormale est………..

Question 9: que peut–on dire de la somme F d’une famille finie

 

Ei ₁ i pde sous-espaces vectoriels de E deux à deux orthogonaux ?

Proposition 8 (théorème de Pythagore) :

1. Pour tout couple (x,y)  E², on a l’équivalence : x  y  || x + y ||²= || x ||² + || y ||²

2. Pour toute famille orthogonale finie

 

xi ₁ i pde vecteurs de E, on a la relation de Pythagore :

2

2

1 1

p p

i i

i i

x x

 







Question 10 : Montrer que la réciproque de l’énoncé 2. est fausse.

II.2 Bases orthonormale dans espace euclidien

Dans tout ce paragraphe, sauf précision contraire, E un espace euclidien donc de dimension finie.

Définition 6 :  On appelle base orthonormale (ou orthonormée) de E toute base  = (e1 ,…,en) de E qui vérifie :

 (i,j)  1, n², (e_i | e_j) = 0 si

ij 1 si

i j i j

 _{ }^{ }

 

Proposition 9 : Soit  = (e₁ ,…,en) une base orthonormale de E. Si

1 n

i i i

x x e







^et

1 n

i i i

y y e







sont deux vecteurs de E dont les matrices colonnes de coordonnées dans la base  sont respectivement X et Y, on a :

1. (x| y) =

1 n

i j i

x y



 ^{= tX Y = t}Y X. 2. || x ||² = ²

1 n

i i

x



 ^{= tX X}

Proposition 10 (Coordonnées d’un vecteur dans une b.o.n.) : Soit  = (e₁ ,…,en) une base orthonormale de E.

 x E, x =

 

1

|

n

i i

i

e x e





Question 11:  = (e₁ ,…,en) une b.o.n. de E et f  ( E ). Exprimer les coefficients de la matrice de f dans .

Proposition 11 (Existence de b.o.n.) : Tout espace euclidien non réduit à {0} admet au moins une base orthonormale.

Corollaire 12 : Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E (E étant éventuellement de dimension infinie) alors F et F^ sont supplémentaires : E = F  F^.

Corollaire 13 :

1. Toute famille orthonormale d’un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de E 2. Si E est un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E alors dim F + dim F^ = dim E .

Question 12: E est un espace euclidien, F un sous espaces vectoriels de E. Montrer que

 

^{F F}

II.3 Projection orthogonale et symétrie orthogonale.

Dans tout ce paragraphe, E un préhilbertien réel et F un sous espace vectoriel de dimension finie E (donc E = F  F^).

Définition 7 : On appelle projection orthogonale sur F, la projection sur F parallèlement à F^. On notera p_F cette projection

Proposition 15 (expression du projeté orthogonal ) :

Si (e₁ ,…,ep) est une base orthonormale de F , alors :  x E, pF (x) =

 

1

|

p

i i

i

e x e





Questions 13: Exprimer p_F (x) dans le cas où F= vect {a} où a est un vecteur non nul.

Proposition 16 : Si p_F désigne la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel de dimension finie F de E, alors pour tout x E :

1. || x  p_F (x) || = inf

y F || x  y || = d (x, F ).

2. p_F (x) est l’unique vecteur de F tel que || x  p_F (x) || soit égale à la distance de x à F.

3. || x ||² = || pF (x) || ²+ (d (x, F ))²

Corollaire 17 (Inégalité de Bessel) : Si (e₁ ,…,ep) est une famille orthonormale d’un préhilbertien réel E , alors :

 x E,

 

²

1

|

p i i

e x



 ^{ || x ||2}

Remarque : si on ne dispose pas d’une base orthonormale de F, p_F(x) peut être obtenu en résolvant le système obtenu en exprimant que x  p_F (x) est orthogonal aux vecteurs d’une famille génératrice de F