131 – Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Isotropie. A.
« Quadratique, c'est juste degré 2 ! Et degré 2, c'est quadratique... Le jour où y'en a un qui a appelé ça quadratique, ça les a tous foutus dedans, mais c'est juste du
degré 2 ! »
Un petit commentaire avant de commencer : Je donne la définition de forme quadratique qui marche sur tous les corps : polynôme homogène de degré 2 en les coefficients du vecteur et non il existe une fbs telle que… (ne marche pas en caractéristique 2).
Le plan :
I) Généralités.
Définition d’une forme quadratique. Propriétés. Forme polaire, correspondance biunivoque entre forme quadratique et forme bilinéaire symétrique en caractéristique différente de 2.
Matrice d’une forme quadratique (d’où ça sort ? Réponse : de l’application de E dans E*).
Noyau. Forme quadratique non dégénérée. Ecriture matricielle de q(x) et de φ(x,y).
Orthogonalité et isotropie, cône isotrope. Orthogonal et propriétés. Seti, setim, dimension d’un setim. Base q-orthogonale. Formule du changement de base.
II) Classification, applications.
Algorithme de Gauss. Action par congruence. Signature, rang, discriminant. K=C :
classification par le rang. (Marche sur tout corps algébriquement clos). K=R : loi d’inertie de Sylvester. Classification par le rang et la signature. K=Fq : discriminant et rang. Application à la classification des coniques en dimension 2 sur R.
III) Etude du groupe orthogonal (K=R ou C).
Définition de O(q). Notation O(n), O(p,q) et O(n,C). Connexité. Décomposition de O(p,q).
Décomposition de O(n,C). O(p,q)/SO0(p,q)≈Z/2Z x Z/2Z. Théorème de Witt. App : formes quadratiques non dégénérées sur C2n : étude des setim.
Les développements :
A12 : Etude des setim d’une forme quadratique non dégénérée sur C2n A29 : Décomposition de O(p,q)
La bibliographie :
[Szp]-[Go1]-[FrQ]-[AF4]-[Per]-[Frg]-[Ser]
