Lyc´ee Pierre de Fermat 2019/2020
MPSI 1 colles
Programme de colle
Num´ero de semaine : 29
Semaine du 25/5/2021 au 29/5/2021 Questions de cours :
1. Savoir calculer le rang d’une matrice et en d´eduire la dimension de l’espace (vectoriel ou affine) des solutions du syst`eme lin´eaire associ´e).
2. Savoir d´ecomposer une permutation en produit de transpositions et en produit de cycles `a supports disjoints (et en d´eduire la signature et l’ordre de la permutation).
3. D´efinition et cardinal du sous-groupe altern´eAn. on prouvera que le noyau d’un morphisme de groupe est un sous-groupe du groupe de d´epart.
4. Montrer qu’une forme plin´eaire altern´ee s’annule sur les familles li´ees. Caract´erisation des bases par le d´eterminant.
5. D´efinition du d´eterminant d’un endomorphisme et son lemme pr´eliminaire.
6. Montrer que le d´eterminant est un morphisme de (LK(E),◦) dans (K,×), application `a la caract´erisation des automorphismes.
Th` eme de la colle : Groupes sym´ etriques.
1. D´efinition.
2. Structure des groupes sym´etriques. D´ecomposition de permutations en cycles `a supports disjoints et en produits de transpositions.
3. Le morphisme signature.
4. Les groupes altern´es.
D´ eterminants.
1. Formesp-lin´eaires sur unK-evE.
2. D´eterminants. Diff´erentes notions de d´eterminant, d’une famille de vecteurs relativement `a une base, d’un endomorphisme, d’une matrices. Premi`eres propri´et´es.
Consignes particuli`eres :
Vincent Bayle
Je suis joignable
• par t´el´ephone au 09-50-28-23-28 ou au 06-74-52-23-64,
• par courrier ´electronique `a l’adresse [email protected],
• par courrier postal, `a mon adresse personnelle : 2, Impasse des Bernaches, 31280-DREMIL LAFAGE.
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