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Th` eme de la colle :

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Academic year: 2022

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Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 colles

Programme de colle

Num´ero de semaine : 28

Semaine du 17/5/2021 au 22/5/2021 Questions de cours :

1. Montrer qu’une famille dedvecteurs d’un espace de dimensiondest une base si et seulement si la matrice de ces vecteurs dans une base (donc dans toute) est inversible.

2. Une matrice de passage est inversible,P(B → B′)−1=P(B′→ B). De plusX =P X′.

3. Preuve de la formule de changement de base pour une application lin´eaire, cas particulier d’un endomor- phisme lu dans la mˆeme base au d´epart et `a l’arriv´ee.

4. Montrer que la trace deA.B est ´egale `a la trace de B.A(A, B deux matrices carr´ees) et application `a la d´efinition de la trace d’un endomorphisme (en montrant que les traces de deux matrices semblables sont

´egales).

5. D´ecompositionP JrQ.

6. La multiplication `a droite ou `a gauche par une matrice inversible n’affecte pas le rang, lien entre le rang deAet celui de tA.

7. Montrer que le rang d’un projecteur est ´egal `a sa trace.

8. Savoir calculer sur un exemple le rang d’une matrice (algorithme de calcul du rang).

Th` eme de la colle :

Matrices `a coefficients dans un corpsK.

1. G´en´eralit´es.

2. Transposition de matrices, op´erations et transposition.

3. Op´erations matricielles.

(a) Structure vectorielle.

(b) Produit de matrices.

(c) Alg`ebre des matrices carr´ees. Matrices inversibles pour le produit.

(d) Transpos´ee et op´erations.

4. Liens entre applications lin´eaires et matrices.

(a) Matrice d’une application lin´eaireu∈ LK(E, F) relativement `a une base deE et une base deF. (b) Application lin´eaire associ´ee `a une matrice relativement `a deux bases fix´ees.

(c) Identification.

(d) Applications de cette identification.

5. Changement de base.

6. Matrices ´equivalentes, matrices semblables.

Consignes particuli`eres :

Vincent Bayle

Je suis joignable

• par t´el´ephone au 09-50-28-23-28 ou au 06-74-52-23-64,

• par courrier ´electronique `a l’adresse [email protected],

• par courrier postal, `a mon adresse personnelle : 2, Impasse des Bernaches, 31280-DREMIL LAFAGE.

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