3.1 Syst` eme d’´ equation lin´ eaire.

3 Partie 3

3.1 Syst` eme d’´ equation lin´ eaire.

Q.3.1

Calculer les d´ eterminants suivants a)

1 3 1 0 b)

−2 1

−4 −1 c)

8 −2

−4 1 d)

2 7 3 9

e)

−4 5 7 6

f)

1 3 0 1 0 3 0 2 1

g)

2 −1 3

−1 1 2

−3 1 1

Q.3.2

V´ erifier si les couple (x, y) donn´ es satisfont au sys- t` emes d’´ equation lin´ eaire suivant.

a) (1, 5) pour

x + y = 4

−x − 2y = 3 b) (2, 3) pour

7x − 2y = 8

−3x + 4y = −6 c) (−1, 5) pour

−6x + 3y = 21 5x − 2y = −15 Q.3.3

Ecrire les matrice des coefficients des syst` ´ emes d’´ equation lin´ eaire suivant.

a)

x − y = 4

−x + 7y = 11 b)

4x − 3y = −5

2x + 2y = 3

c)

3x − 18y = −6

−1x + 6y = 2 d)

7x − 2y = −1

−3x + 4y = 9 Q.3.4

Trouver l’ensemble solution des syst` eme d’´ equation lin´ eaire suivant ` a l’aide de la m´ ethode de Cramer a)

x − y = 4

−x + 7y = 11

b)

4x − 3y = −5

2x + 2y = 3

c)

3x − 18y = −6

−1x + 6y = 2 d)

7x − 2y = −1

−3x + 4y = 9 Q.3.5

Trouver l’ensemble solution des syst` eme d’´ equation lin´ eaire suivant ` a l’aide de la m´ ethode de Cramer.

a)







x + y + z = 1

−x + y − z = 2 x + 3y − 2z = 0 b)







3x − 2y + z = 4

−x + 3y + 2z = −1

4x − 5y − z = 5

3.2 Trigonom´ etrie Q.3.6

Ecrire les angles en degr´ ´ es suivants en radians.

a) 180

^◦

b) 90

^◦

c) 270

^◦

d) 30

^◦

e) 60

^◦

f) 120

^◦

g) 45

^◦

h) 225

^◦

i) 210

^◦

Q.3.7

Ecrire les angles en radians suivants en degr´ ´ es.

a) 11π 6 b) 3π 5

c) 6π 2 d) − 3π

4

e) 5π 12 f) 9π 5 Q.3.8

Positionner les points correspondants aux angles suivants sur un cercle de rayon 1

a) 180

^◦

b) 90

^◦

c) 270

^◦

d) 30

^◦

e) 60

^◦

f) 120

^◦

g) 45

^◦

h) 225

^◦

i) 210

^◦

1

Q.3.9

Donner l’angle entre 0 et 2π ´ equivalent au angles suivants. C’est-` a-dire donner l’angle modulo 2π.

a) 48π b) −123π c) 27π

4

d) 53π 3 e) − 71π

6 f) 100π

3 Q.3.10

Evaluer les expressions suivantes ´

4

3 θ

a) sin θ b) cos θ

c) tan θ d) sec θ

e) csc θ f) cot θ Q.3.11

Sachant que cos π 8

=

p 2 + √ 2

2 trouver a) sin π

8

b) cos

− π 8

c) cos 7π

8

d) sin 3π

8

Q.3.12

Evaluer, sans calculatrice. ´ a) sin 8π

3 b) cos

− 5π 2

c) tan 3π 4 d) cot

− 11π 6

e) sec 4π 3 f) csc

− π 4

g) sin π 3 + π

4

h) cos π 12 Q.3.13

A l’aide des identit´ ` es trigonom´ etriques pour sin(α + β) et cos(α + β) trouver les identit´ es pour

a) sin(α − β) b) cos(α − β)

c) sin(2θ) d) cos(2θ)

Q.3.14

D´ emontrer les identit´ es trigonom´ etriques suivantes.

a) sin

²

θ = 1 − cos 2θ 2 b) cos

²

θ = 1 + cos 2θ

2

c) sin 3θ = 3 sin θ− 4 sin

³

θ d) cos

⁴

θ − sin

⁴

θ = cos 2θ

e) tan θ

2 = sin θ 1 + cos θ Q.3.15

Soit la fonction suivant : f (x) = 4 sin

3x + π 3

a) Donner l’amplitude de cette fonction b) Donner la p´ eriode de cette fonction

c) Donner la fr´ equence de cette fonction d) Donner le d´ ephasage de cette fonction

e) ´ Evaluer f 7π

9

2

R´ eponses aux exercices

R.3.1 a) −3 b) 6

c) 0 d) −3

e) −59 f) −9

g) 9

R.3.2

a) Non b) Non c) Oui

R.3.3

a)

1 −1

−1 7

b)

4 −3

2 2

c)

3 −18

−1 6

d)

7 −2

−3 4

R.3.4 a) x = 39

6 et y = 15 6 b) x = − 1

14 et y = 22 14

c) La r` egle de Cramer ne fonctionne pas ici.

d) x = 7

11 et y = 60 22 R.3.5

a) x = − 11 6 , y = 3

2 , z = 4 3

b) La r` egle de Cramer ne fonctionne pas ici.

R.3.6

a) π b) π 2 c) 3π

2

d) π 6 e) π 3 f) 2π

3

g) π 4 h) 5π

4 i) 7π

6 R.3.7

a) 330

^◦

b) 108

^◦

c) 540

^◦

d) −135

^◦

e) 75

^◦

f) 324

^◦

R.3.8 Laiss´ e ` a l’´ etudiant

R.3.9

a) 0 b) π

c) 3π

4 d) 5π

3 e) π

6

f) 4π 3

R.3.10 a) 3

5 b) 4 5 c) 3 4

d) 5 4 e) 5 3 f) 4 3 R.3.11

a)

p 2 − √ 2 2 b)

p 2 + √ 2 2

c) −

p 2 + √ 2 2 d)

p 2 + √ 2 2 R.3.12

a)

√ 3 2 b) 0

c) −1 d) √

3 e) −2

f) − √ 2 g)

√ 2 + √ 6 4 h)

√ 2 + √

6 4 R.3.13

a) sin α cos β − sin β cos α b) cos α cos β + sin α sin β

c) 2 sin θ cos θ d) cos

²

θ − sin

²

θ R.3.14 Laiss´ e ` a l’´ etudiant.

R.3.15 a) 4 b) 2π

3 c) 3 2π

d) π 3 e) 2 √

3

3