Sup PCSI2 — Contrˆole 2002/07
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Probl` eme 1 : de l’alg` ebre, oui, mais lin´ eaire !
◮On noteE le s.e.v. deF(R,R) engendr´e parf : t7→et,g: t7→e2tet h: t7→et2 = exp¡ t2¢
.
Q1 Justifiez rapidement le fait que B = (f, g, h) est une base de E; vous donnerez au moins deux m´ethodes diff´erentes.
Q2 Soit p∈E; calculez les coordonn´ees (a, b, c) depdansBen fonction dep(0),p′(0) etp′′(0).
◮Soitϕl’application qui, `ap∈E, associeAf+Bg+Ch, o`u :
A= 1
4
¡−4p(0) + 2p′(0)−2p′′(0)¢ B= 1
4
¡2p(0) +p′(0) +p′′(0)¢ C= 1
4
¡−2p(0)−3p′(0) +p′′(0)¢ Q3 D´eterminez la matriceM deϕdans la base (f, g, h) deE.
Q4 Calculez M2.
Q5 Au vu de M et deM2, que pouvez-vous dire de l’endomorphismeϕ?
Probl` eme 2 : des calculs pour tous les goˆ uts
Q1 R´esolvez dans Rl’´equation sin666(x) = 666 cos666(x).
Q2 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eralSn= X
16k6n
rk2+ 1
n4+ 1. Vous noterez bien queSnn’est pas une somme deRiemann. Vous noterez ´egalement que le nom de ce dernier s’´ecrit avec deux n.
Q3 Calculez I= Z π
0
sin666(t) cos2003(t)dt.
Q4 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral Zn= 1 n3
X
16k6n2
⌊k/n⌋.
Q5 Notonsz= 1−i i+√
3exp³iπ 13
´. MettezZ =z2002 sous forme alg´ebrique.
Tournez S.V.P.
Probl` eme 3 : de l’analyse, d’apr` es une ´ epreuve du concours EPF
Les r´eponses qui ne sont pas rigoureusement justifi´ees ne seront pas prises en compte dans la notation.
◮Notonsf : x7→ln¡ x+√
1 +x2¢ .
Q1 Explicitez l’ensemble de d´efinition J def.
Q2 Quelle est la parit´e de f?
Q3 Montrez que f est continue surJ. Q4 Montrez que f est d´erivable surJ. Q5 Explicitez f′(x), pourx∈ J.
Q6 Montrez que f est de classeC∞ surJ.
Q7 D´eterminez des r´eels aet btels que f(x) = ln(ax) +bx−2+o(x−2) lorsquextend vers +∞. Q8 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative de f.
◮Pourn∈N, notons un = Z 1
0
xn
√1 +x2dxet In = Z 1
0
xnp
1 +x2dx.
Q9 Calculez u0.
Q10 Quel est le sens de variation de la suite (un)n∈N? Q11 Montrez que cette suite converge.
Q12 Avec une majoration tr`es simple deun, d´eterminez la limite ℓde la suite (un)n∈N. Q13 Justifiez l’in´egalit´eun> 1
(n+ 1)√ 2.
Q14 ´Ecrivez une relationtr`es simple entreun,un+2 etIn.
Q15 Au moyen d’une int´egration par parties soigneusement justifi´ee, exprimez In en fonction de un+2. Vous noterez que je consid´ererai comme une offense grave l’absence, sur votre copie, du s final dans l’expression int´egration par parties.
Q16 En d´eduire une relation entreun et un+2.
Q17 Utilisez cette relation pour ´etablir la majoration (2n+ 3)un+26√ 2.
Q18 En d´eduire un ´equivalent simple deun lorsque ntend vers l’infini.
[Contr^ole 2002/07] Compos´e le 11 juin 2008
