Sup PCSI2 — Contrˆole 2001/06
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 : calculs (Oral ENSTIM 2001)
◮Les questions de cet exercice sont totalement ind´ependantes. Elles doivent n´eanmoins ˆetre r´edig´ees sur une copie s´epar´ee (plusieurs, au besoin).
Q1 Notonsg: x7→ xx−x
1−x+ ln(x). Calculez la limite deg(x) quandxtend vers 1. (Planche 325.I) Q2 Notonsh: x7→ 3x−2 sin(x)−tan(x)
3 sin(x)5 . Calculez la limite de h(x) quandxtend vers 0. (Planche 331.II) Q3 Notons k: x7→ x3exp(1/x)
x2+ 1 . D´eterminez des r´eelsa, b et c tels quek(x) = ax+b+ c x+o³1
x
´ lorsquex tend vers +∞. (Planche 323.II)
Q4 ⋆ ⋆ ⋆ Calculez la limite de la suite de terme g´en´eralun=nn+1n −(n+ 1)nn−1. (Planche 320)
Exercice 2 : projecteurs (Oral ´ Ecole de l’air 2001)
◮Deux projecteurspetqd’un mˆemeK-e.v. E v´erifient im(p)⊂ker(q).
Q1 Que pouvez-vous dire de q◦p?
◮Notons =p+q−p◦q.
Q2 Montrez que est un projecteur.
Q3 Montrez que ker() = ker(p)∩ker(q).
Q4 Montrez que im(p) et im(q) sont en somme directe.
Q5 Montrez que im() = im(p)⊕im(q).
Tournez S.V.P.
Exercice 3
◮Pourn∈N, notons In = Z 1
0
tn
1 +t2dt etJn = Z 1
0
tnln(1 +t2)dt.
Q1 Calculez I0 etI1.
Q2 Quel est le sens de la variation de la suite (In)n∈N?
Q3 Montrez que la suite (In)n∈Nconverge et explicitez sa limite.
Q4 De la mˆeme fa¸con, prouvez la monotonie de la suite (Jn)n∈N, puis sa convergence, et pr´ecisez sa limite.
Q5 Calculez In+In+2.
Q6 ⋆⋆ Donnez un ´equivalent simple deIn lorsquentend vers l’infini.
Q7 Utilisez les valeurs obtenues `a la question 1 et la formule ´etablie `a la question 5 pour obtenirI2,I3,I4 etI5. Q8 Donnez une expression deI2p au moyen d’une somme.
Q9 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eral An= X
06k6n
(−1)k 2k+ 1. Q10 Donnez une expression deI2p+1au moyen d’une somme.
Q11 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eralLn= X
06k6n
(−1)k k+ 1.
Q12 Au moyen d’une int´egration par parties (soigneusement justifi´ee si vous voulez que cette question vous rapporte des points), exprimezJn en fonction d’un terme de la suite (Ip)p∈N.
Q13 Donnez alors des expressions deJ2p et de J2p+1 faisant intervenir une somme.
Q14 Donnez un ´equivalent simple deJn lorsquentend vers l’infini.
Q15 Pourn∈Net t∈R, justifiez la relation 1
1 +t2 = X
06k6n
(−1)kt2k+(−1)n+1t2n+2 1 +t2 .
Q16 Dans cette question, on suppose|t|<1. Quelle est la limite, quandntend vers l’infini, de X
06k6n
(−1)kt2k?
◮Pourn∈Net x∈R, on notePn(x) = X
06k6n
(−1)kx2k+1 2k+ 1 . Q17 Pourn∈Net x∈R, justifiez la relation arctanx=Pn(x) +
Z x
0
(−1)n+1t2n+2 1 +t2 dt.
Q18 En d´eduire, pourn∈Net |x|61 :¯
¯arctanx−Pn(x)¯
¯6|x|2n+3 2n+ 3.
[Contr^ole 2001/06] Compos´e le 11 juin 2008
