Sup PCSI2 — Contrˆole 2003/07
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Exercice : alg` ebre lin´ eaire
◮SoientE unK-e.v. de dimension finien>2 etB= (e1, e2, . . . , en) une base deE. Fixonsp∈[[1,n−1]], et notons F = Vect{e1, e2, . . . , ep} et G = Vect{ep+1, ep+2, . . . , en}.
Q1 Que pouvez-vous dire des deux s.e.v. F et G ?
◮Poura∈E, nous noterons Ha = Vect{e1+a, e2+a, . . . , ep+a}.
Q2 Montrez que, siaappartient `a G, alors Ha et G sont suppl´ementaires.
◮Fixons deux ´el´ementsaetbde G.
Q3 Montrez que, sie1+bappartient `a Ha, alorsa=b.
Q4 En d´eduire une CNS portant suraetb pour que Ha = Hb.
◮D´esormais,aet bsont deux ´el´ements de G distincts.
Q5 Montrez que Ha∩Hb = Hc, o`u c=−ep. Q6 D´eterminez la dimension de Hc.
Q7 Donnez un suppl´ementaire simple de Hc.
Probl` eme : ´ etude qualitative des solutions d’une ´ equation diff´ erentielle
Pr´eliminaires
Q1 Rappelez lad´efinition de la fonction arctan. On ne vous demande pas ses propri´et´es.
Q2 Explicitez arctan′(x), preuve `a l’appui.
Position du probl`eme
◮Notons E l’´equation diff´erentielle y′ = π
2 −arctan(y). Unesolution surR deE est une fonctionf ∈ D(R), v´erifiantf′(t) = π
2 −arctan¡ f(t)¢
pour tout t∈R. Unecourbe int´egrale deE est la courbe repr´esentative d’une solution surRdeE.
◮Soit (t0, y0) ∈ R2; nous dirons que cette solution v´erifie la condition initiale (t0, y0) si f(t0) = y0. Nous admettrons queE poss`ede une et une seule solution surRv´erifiant la condition initiale (t0, y0) ; ceci revient
`a dire que, par chaque point du plan, il passe une et une seule courbe int´egrale deE.
◮Dans la suite,f d´esigne une solution surRdeE. Quelques questions faciles
Q3 Montrez que f est de classeC∞.
Q4 Montrez que f est strictement croissante.
Q5 Montrez que −f est convexe.
Q6 Montrez que f est lipschitzienne.
Comportement def au voisinage de+∞
◮Nous nous int´eressons dans un premier temps au comportement def(t) lorsquettend vers +∞. Nous allons montrer que f n’est pas major´ee. Pour ce faire, nous allons raisonner par l’absurde ; nous supposons donc quef est major´ee par un r´eelM.
Q7 Prouvez l’existence d’un r´eel k >0 tel quef′(t)>kpour tout r´eelt.
Q8 En d´eduire f(t)>f(0) +ktpour toutt>0.
Q9 Mettez en ´evidence une contradiction.
Q10 Finalement, quelle est la limite def(t) lorsquet tend vers +∞? Q11 Et quelle est la limite def′(t) lorsquet tend vers +∞?
◮Nous allons montrer quef(t) est n´egligeable devanttlorsquet tend vers +∞. Fixonsε >0.
Q12 Justifiez l’existence d’un r´eeltεtel que 0< f′(t)< ε
2 pour toutt>tε. Q13 Justifiez l’existence d’un r´eelτε tel que¯
¯
¯ f(tε)
t
¯
¯
¯6 ε
2 pour toutt>τε. Q14 En partant de l’´egalit´ef(t) =f(tε) +
Z t
tε
f′(u)du, justifiez l’existence d’un r´eel Tεtel que ¯
¯
¯ f(t)
t
¯
¯
¯6ε pour toutt>Tε.
Q15 Concluez !
Comportement def au voisinage de−∞
◮Nous nous int´eressons maintenant au comportement def(t) lorsquettend vers−∞.
Q16 Pourt60, justifiez l’in´egalit´ef(t)6f(0) +tf′(0).
Q17 En d´eduire quef(t) tend vers−∞lorsquettend vers−∞.
Q18 Quelle est la limite def(′t) lorsquettend vers−∞?
Q19 ⋆⋆ En vous inspirant de l’´etude du comportement de f(t) lorsque t tend vers +∞, montrez quef(t) est
´equivalent `aπt lorsquettend vers−∞.
Synth`ese
Q20 Montrez quef r´ealise une bijection deRsur lui-mˆeme.
Q21 Quelle est la plus petite constante deLipschitzacceptable pour f?
◮Notonssla solution deE v´erifiant la condition initiale (0,2).
Q22 Explicitez leDL2(0) des.
Q23 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative des.
◮Soientt0,t1 ety0 trois r´eels. Notonsg la solution deE v´erifiant la condition initiale (t0, y0)
Q24 Montrez que la fonctionh: t ∈R7→g(t−t1+t0) est solution deE, et qu’elle v´erifie la condition initiale (t1, y0).
Q25 En d´eduire que deux courbes int´egrales deE sont images l’une de l’autre par une translation.
[Contr^ole 2003/07] Compos´e le 11 juin 2008
