Sup PCSI2 — Contrˆole 1999/06
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge.
Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 (ENSAM MP 1998)
IPourn>1, on note fn: x∈[0, π]7→xnsinx.
Q1 Explicitezfn0(x) et montrez quefn0(x)>0 pour 0< x6π/2.
Q2 On notegn : x∈[π/2, π]7→x1−nfn0(x). Explicitezgn0(x) et montrez quegn0(x)<0 pourπ/2< x6π.
Q3 D´eduisez des r´esultats pr´ec´edents le tableau des variations defn, et prouvez l’existence dean∈]0, π[ tel que fn soit strictement croissante sur [0, an] et strictement d´ecroissante sur [an, π].
Q4 D´eterminez le signe degn+1(an) ; quel est le sens de variation de la suite (an)n>1? Q5 Prouvez que la suite (an)n>1 converge.
Q6 D´eterminez la limite` de la suite (an)n>1.
Q7 On notexn=`−an. Donnez un ´equivalentsimple dexn lorsquentend vers l’infini.
Q8 Quelle est la limite de fn(an) lorsquentend vers l’infini ? IPourn>1, on note Jn=
Z π
0
fn(x)dx.
Q9 CalculezJ1 etJ2.
Q10 Avec deux int´egrations par parties successives, obtenez une relation exprimantJn+2 en fonction deJn. Q11 Utilisez cette relation pour d´eterminer les valeurs deJ3 etJ4.
Q12 Quelle est la limite de la suite (Jn)n>1 lorsquentend vers l’infini ?
Exercice 2 (d’apr` es une question de l’oral CCC PSI 1999)
Q1 Au moyen de deux int´egrations par parties, calculez la valeur deJ = Z 1
0
etcost dt.
Q2 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eralKn = 1 n
X
16k6n
expk+ 1 n
cosk n
.
Q3 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eralLn= 1 n
X
16k6n
expk n
cosk+ 1 n
.
ISoient I un intervalle de R, f : I 7→R et k ∈R+. Nous dirons que f est k-lipschitizienne sur I lorsque f(x)−f(y)
6k|x−y|et ce quels que soientxet y appartenant `aI.
Q4 On suppose quef etg sont toutes deuxk-lipschitiziennes surI. Que peut-on dire de f+g? Q5 Montrez que si f ∈ C1[a, b], alorsf est k-lipschitizienne sur [a, b].
Q6 Soit f ∈ C1[0,1]. D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eralSn= 1 n
X
16k6n
fk+ 1 n
f0k n
.
Tournez S.V.P.
Exercice 3 : transformation binomiale
IRappels : pour 06k6n, on note Ckn= n!
k!(n−k)!. Pouri etj relatifs, on noteδi,j le r´eel ´egal `a 1 sii=j,
`
a 0 dans le cas contraire.
Q1 Pour 0 6 k 6 p 6 n, donnez une autre ´ecriture du produit CpnCkp, faisant intervenir deux coefficients binomiaux.
IEd´esigne leR-e.v. des suites de r´eels. Soit (un)n∈Nun ´el´ement deE; d´efinissons la suiteT(u) par : T(u)
n = X
06k6n
(−1)kCknuk pour toutn∈N Vous noterez bien queT associe, `a une suite de r´eels, une autre suite de r´eels.
Q2 Siuest une suite de r´eels, la notationT(un) a-t-elle un sens ? Q3 Montrez que l’applicationT est un endomorphisme deE.
IDans les cinq questions suivantes, l’expression hhexpliciter T(u)ii signifiehhdonner l’expression, en fonction den, du terme g´en´eral T(u)
n de la suiteT(u)ii. Il va de soi que cette expression devra ˆetrela plus simple possible.
Q4 ExplicitezT(u) lorsqueuest la suite d´efinie parun= 1 pour toutn∈N. Q5 ExplicitezT(u) lorsqueuest la suite d´efinie parun=npour toutn∈N. Q6 ExplicitezT(u) lorsqueuest la suite d´efinie parun= 1
n+ 1 pour toutn∈N.
Q7 Fixonsx∈R. ExplicitezT(u) lorsqueuest la suite d´efinie parun =xn pour toutn∈N.
Q8 Fixons p∈N. ExplicitezT(u) lorsqueuest la suite d´efinie parun = Cpn pour toutn>p, et un = 0 pour toutn < p.
Q9 Justifiez la relationT ◦ T = IdE.
Q10 Exhibez un ´el´ementudeE, autre que la suite nulle, v´erifiantT(u) =−u.
[Contr^ole 1999/06] Compos´e le 19 mars 2005
