Sup PCSI2 — Contrˆole 1995/12
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Partie 1
◮Notonsϕ: x∈[−1,1]7→
Z π/2
0
p1−xcos(t)dt.
Q1 Justifiez l’existence deϕ.
Q2 Calculez ϕ(0),ϕ(1) etϕ(−1).
Q3 Prouvez queϕest d´ecroissante.
Q4 Prouvez queϕeststrictement d´ecroissante.
◮NotonsE: x∈[−1,1]7→
Z π/2
0
q
1−x2sin2(t)dt.
Q5 Justifiez l’existence deE.
Q6 Calculez E(0),E(1) etE(−1).
Q7 ´Etudiezrapidement les variations deE.
Q8 Montrez que E(x) =a(x)³ ϕ¡
−b(x)¢ +ϕ¡
b(x)¢´
, o`u aet bsont deux fonctions de [−1,1] dansR+ que vous expliciterez.
Partie 2
◮Pourn∈N, notons In = Z π/2
0
sinn(t)dt.
Q9 Calculez I0 etI1.
Q10 ´Etablissez, au moyen d’une int´egration par parties, une relation entreIn+2 et In. Q11 SimplifiezPn= Q
16k6n
(2k−1). Le r´esultat sera exprim´e au moyen de factorielles et d’une puissance de 2.
Q12 En d´eduire des expressions deI2netI2n+1d´ebarrass´ees de tout symboleQ
. Ces expressions feront intervenir le nombreπ, le coefficient binomial
µ2n n
¶
et des puissances de 2, `a l’exclusion de toute autre quantit´e.
Q13 Quel est le sens de variation de la suite (In)n∈N? Que pouvez-vous en d´eduire concernant la convergence de cette suite ?
Q14 Pourn>1, donnez une preuvetr`es simple de l’encadrement µ2n
n
¶
<4n<(2n+ 1) µ2n
n
¶ .
Partie 3
◮Soit f : u ∈ [0,1] 7→ √
1−u. On se propose d’´etablir un encadrement de f(u) au moyen de fonction polynˆomes. On identifiehhpolynˆomesii ethhfonctions polynˆomesii.
Q15 Justifier :f ∈ C∞¡
[0,1[,R¢ .
Q16 Montrez quef(n)(u) =an(1−u)−n+1/2, o`uan∈Rsera explicit´e au moyen de factorielles et d’une puissance de 2.
Q17 En d´eduire leDL3(0) def.
Tournez S.V.P.
◮Le r´esultat pr´ec´edent sugg`ere quef(u) est peu diff´erent deg(u) = 1−u 2 −u2
8 −u3
16, et que g(u)>f(u).
Notonsh: t∈[0,1]7→f(1−t2)−g(1−t2).
Q18 Simplifiezh(t), et constatez quehest une fonction polynˆome.
Q19 Quel est l’ordre de multiplicit´e de 1, en tant que racine deh? FactorisezhdansR[X].
Q20 En d´eduireg(u)>f(u) pour toutu∈[0,1].
◮Pour minorerf(u), nous allons utiliser la formule deTayloravec reste int´egral ; `a l’ordre 2, elle s’´ecrit : f(u) =f(0) +uf′(0) + u2
2 f′′(0) + Z u
0
(u−t)2
2 f′′′(t)dt Q21 Pour 06t6u <1, justifiez :u−t
1−t 6u.
Q22 Pour 06u <1, justifiez Z u
0
√dt
1−t 62u.
Q23 En d´eduire un r´eelα >0 tel que, pour toutu∈[0,1] :f(u)>1−u 2 −u2
8 −αu3.
Q24 Montrez que la valeur deαobtenue pr´ec´edemment est optimale, autrement dit : siβ < α, il existe au moins unu∈[0,1] tel que l’in´egalit´ef(u)>1−u
2 −u2
8 −βu3 soit fausse.
Partie 4
Q25 Utilisez les r´esultats des questions Q12, Q20 et Q23 pour obtenir deux polynˆomes P et Q `a coefficients rationnels tels que, pour toutx∈[−1,1] :
π
2P(x)6E(x)6 π 2Q(x)
◮Le plan affine euclidien est muni d’un rep`ere orthonorm´e R. Soient a et b deux r´eels tels que 0< a 6b.
Notons Γ le quart d’ellipse param´etr´e part∈£ 0,π2¤
7→m(t), o`um(t) est le point dont les coordonn´ees dans le rep`ereRsontx(t) =acos(t) et y(t) =bsin(t).
Q26 Exprimez la longueurL(a, b) de Γ au moyen d’une int´egrale.
Q27 Montrez queL(a, b) =bE Ãr
1−a2 b2
! .
◮E d´esigne l’ellipse d´efinie parM ∈ E ⇐⇒ M F+M F′ = 4, o`u F(1,0) etF′(−1,0).
Q28 Faites une figure repr´esentantE (unit´e : 2 cm). Calculez l’excentricit´e deE, et donnez des ´equations de ses directrices dans le rep`ereR.
Q29 Notonsλla longueur deE, exprim´ee en centim`etres. Donnez un encadrement deλde la forme n
10d 6λ6 n+ 1 10d o`u netdsont deux naturels.
[Contr^ole 1995/12] Compos´e le 7 mars 2008
