Exercice 3 : autour des fonctions lipschitziennes

Sup PCSI2 — Contrˆole 2003/05

Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.

Qu’on se le dise.

Exercice 1 : fonctions polynˆ omes et continuit´ e

Q1 •Question de cours : soitϕune fonction deRdans lui-mˆeme. Rappelez la d´efinition de lim

x→+∞ϕ(x) = +∞. Q2 •Question de cours : ´enoncez le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

Q3 •Question de cours : quand dit-on qu’une fonctionq: E7→F est injective ?.

Q4 • Soient aet b deux r´eels tels quea < b. Soitψune fonction continue sur l’intervalle ]a, b[, `a valeurs dans R. ψposs`ede-t-elle n´ecessairement une borne inf´erieure ?

◮Notonsp: x∈R7→1 +x³+⌊x⌋. Q5 pest-elle continue surR?

Q6 pest-elle d´erivable surR?

Q7 Montrez que pest strictement croissante.

Q8 R´esolvez l’´equationp(x) = 131.

Q9 pest-elle surjective ?

◮Soit f : R 7→ R une fonction polynˆome de degr´e n impair. Pour fixer les id´ees, nous supposons que le coefficient dominantkdef est positif.

Q10 Que pouvez-vous dire des limites def en +∞et −∞? Q11 Montrez quef est surjective.

Q12 Donnez un exemple montrant quef n’est pas n´ecessairement injective.

◮Soitg: R7→Rune fonction polynˆome non constante, de degr´enpair. Pour fixer les id´ees, nous supposons que le coefficient dominantkdeg est positif.

Q13 Que pouvez-vous dire des limites degen +∞et−∞?

Q14 Justifiez l’affirmation suivante : il existe un r´eelA>0 tel que|x|>A impliqueg(x)>0.

Q15 Montrez quegn’est pas injective.

Q16 Montrez quegposs`ede une borne inf´erieurem, et que cette borne est atteinte.

Q17 g est-elle surjective ? Q18 D´ecrivezg(R).

Tournez S.V.P.

Exercice 2 : groupes

◮Les groupes consid´er´es dans cet exercice sont not´es multiplicativement. Le neutre de chaque groupe est not´ee; l’inverse deaest not´ea⁻¹.

Q1 Question de cours : rappelez la d´efinition d’un groupe.

Q2 Donnez deux exemples de groupes non commutatifs ; vous n’avez pas besoin de v´erifier les axiomes de la structure de groupe, mais vous devrez exhiber dans chaque cas deux ´el´ements qui ne commutent pas.

Q3 Un ´el´ement x fix´e d’un groupe G v´erifie la propri´et´e suivante :xyxy = yxyx pour tout ´el´ement y de G.

Montrez quexyxⁿ⁺¹y=yxⁿ⁺¹yx pour tout ´el´ementy deGet toutn∈N.

Q4 Soit H un groupe v´erifiant la propri´et´e suivante :txyt =xt²y quels que soient x, y et t appartenant `aH. Le groupeH est-il n´ecessairement commutatif ?

Q5 Deux ´el´ementsuetv d’un groupeKv´erifientuv²u=vu²v. Ces ´el´ements commutent-ils n´ecessairement ?

Exercice 3 : autour des fonctions lipschitziennes

◮Ne pas respecter l’orthographe du motlipschitziensera s´ev`erement sanctionn´e.

◮SoientI un intervalle deR,f une fonction deI dansRet k>0. Nous dirons quef estk-lipschitzienne sur I si|f(x)−f(y)|6k|x−y|quels que soientxety appartenant `aI. Pour abr´eger la r´edaction, nous dirons alors quek>0 est une constante deLipschitzacceptable pour f surI.

◮Nous dirons quef est lipschitzienne surIs’il existe k>0 tel quef soitk-lipschitzienne surI.

Questionnaire rapide

◮SoientI un intervalle deRetf une fonction deI dansR. Q1 Sif est lipschitzienne, alorsf est continue.

Q2 Sif est continue, alorsf est lipschitzienne.

Q3 Sif est lipschitzienne, alorsf est d´erivable.

Q4 Sif est d´erivable, alorsf est lipschitzienne.

Questions classiques

Q5 Prouvez que, si f est lipschitzienne surI, alors|f|l’est aussi.

Q6 Que pensez-vous de la r´eciproque ?

Q7 Prouver que la somme de deux fonctions f etg lipschitziennes surI est elle-mˆeme lipschitzienne surI.

Q8 En est-il de mˆeme pour le produit de deux fonctions lipschitziennes surI? Q9 Prouvez que, si Iest born´e, et sif est lipschitzienne surI, alorsf est born´ee.

Q10 En d´eduire que, siI est born´e, et sif et g sont deux fonctions lipschitziennes surI, alors leur produitf g est lui aussi une fonction lipschitzienne surI.

Q11 Soient I et J deux intervalles de R, f lipschitzienne surI, et g lipschitzienne sur J. Supposonsf(I)⊂J, ainsig◦f est d´efinie. Que pouvez-vous dire de cette compos´ee ?

Q12 NotonsJ = ]0, π] etϕ: x∈ J 7→sin³1 x

´. La fonction ϕest-elle lipschitzienne sur l’intervalleJ ? Q13 Soita >0. Montrez quef : x∈[a,+∞[7→√

xest lipschitzienne.

Q14 Montrez quef : x∈[0,+∞[7→√

xn’est pas lipschitzienne.

Q15 Soitf ∈ C¡

[a, b],R¢

. Supposons quef ne s’annule pas. Montrez qu’il existem >0 tel que¯

¯f(x)¯

¯>m pour toutx∈[a, b].

Q16 En d´eduire que, sif est lipschitzienne sur [a, b] et ne s’annule pas, alors ¹_f est ´egalement lipschitzienne sur [a, b].

Q17 Prouvez que, sif est lipschitzienne sur [a, b] et strictement positive, alors la fonction t ∈[a, b] 7→ p f(x), que nous noterons√

f, est ´egalement lipschitzienne sur [a, b].

Fonctions localement lipschitziennes

◮SoitIun intervalle deR, etf : I7→R. Nous dirons quef estlocalement lipschitzienne si, pour toutx∈I, il existe α >0 tel que la restriction de f `a I∩]x−α, x+α[ soit lipschitzienne. Vous noterez bien queα d´epend dex.

◮Il est clair que toute fonction lipschitzienne est localement lipschitzienne.

◮SoitI un intervalle ferm´e et born´e :I = [a, b] et f : I 7→ R. Nous allons prouver que, si f est localement lipschitzienne surI, alors f est lipschitzienne sur I. On noteE l’ensemble des ´el´ementsc de [a, b] tels que f soit lipschitzienne sur [a, c]

Q18 Prouvez queE est non vide et poss`ede une borne sup´erieure, que nous noteronsm.

Q19 Prouvez quem∈E, et quem=b. Concluez.

Q20 Donnez un exemple de couple (I, f) tel quef soit localement lipschitzienne sur I, sans ˆetre lipschitzienne surI.

[Contr^ole 2003/05] Compos´e le 11 juin 2008