Sup PCSI2 — Contrˆole 1995/10
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
◮Notonsf : x∈R7→4x3−2x2−x−1.
Partie I
Q1 ´Etudiez rapidement les variations de f; donnez l’allure de sa courbe repr´esentative, que nous noterons d´esormais Γ.
Q2 Montrez que l’´equationf(x) = 0 poss`ede une et une seule solution r´eelle, que vous pr´eciserez.
Q3 Montrez que Γ poss`ede un centre de sym´etrie A, dont vous pr´eciserez les coordonn´ees.
Q4 Soient u, v et wtrois r´eels. Donnez une condition n´ecessaire et suffisante tr`es simple portant suru, v, w pour que ces trois r´eels soient les abscisses de trois points de Γ align´es.
Q5 Fixons x0 ∈R; montrez que la tangente `a Γ en son point d’abscissex0 recoupe en g´en´eral Γ en un point d’abscissex1, que vous exprimerez en fonction dex0.
Q6 Fixons un point M de Γ distinct de A. Montrez qu’il existe un et un seul point N de Γ, distinct de A, tel que la tangente en N `a Γ recoupe Γ en M. Vous noterez N =ϕ(M).
Q7 Fixons un point M0 de Γ distinct de A. Que pouvez-vous dire de la suite (Mn)n∈N de points d´efinie par Mn+1=ϕ(Mn) ?
Partie II
◮NotonsP = 4X3−2X2−X−1.
◮Il est vivement conseill´e de mener les calculs qui vont suivre avec le plus grand soin, si l’on veut vraiment arriver au r´esultat. Vous ne laisserez pas de radicaux dans les d´enominateurs ; les fractions devront ˆetre r´eduites.
◮Rappel :j = exp³2iπ 3
´=−1 2+i
√3
2 ;j2=j;j3= 1 et 1 +j+j2= 0.
Q8 R´esolvez dansCl’´equationPe(z) = 0.
Q9 Donnez la d´ecomposition en ´el´ements simples de 1
P dansC(X).
Q10 D´eterminez des constantes r´eellesa,b,c,d,petqtelles que :
∀t>0 : 1
f(−t) = a
t−b + ct+d 4t2+pt+q V´erifiez le r´esultat obtenu, en prenantt= 1.
Q11 Pourquoi la relation 4a+c= 0 ´etait-elle pr´evisible ? Remarque: si les valeurs deaetccalcul´ees `a la question pr´ec´edente ne v´erifient pas cette relation, c’est sans doute qu’il y a une erreur dans vos calculs. . .
Q12 D´eterminez des r´eelsβ etγ tels que :∀t>0 : ct+d
4t2+pt+q =β(8t+p) +γ 4t2+pt+q Q13 Pourx>0, justifiezrapidement l’existence deI(x) =
Z x 0
dt f(−t). Q14 Pourα6= 0, calculez
Z y x
dt t2+α2.
Q15 En d´eduire, au moyen d’un changement de variabletr`es simple, l’expression deJ(x) = Z x
0
dt 4t2+pt+q.
1
Q16 En d´eduire l’expression deI(x).
Q17 Calculezλ= lim
x→+∞I(x) ; le r´esultat sera exprim´e en fonction de ln(2),√ 3 etπ.
Q18 On donne ln(2) ≈0.69, √
3 ≈1.73 et π≈ 3.14 ; donnez une approximation d´ecimale deλ. Le signe de λ
´etait-il pr´evisible ?
Partie III
◮Notons E l’ensemble des suites (un)n∈N de r´eels v´erifiant la relation 4un+3= 2un+2+un+1+un quel que soitn∈N.
Q19 Justifiez :Eest un s.e.v. duR-e.v. des suites de r´eels.
Q20 V´erifiez que les suites (xn)n∈N, (yn)n∈Net (zn)n∈N, de termes g´en´eraux respectifsxn = 1,yn = 1
2ncos³2nπ 3
´ etzn = 1
2nsin³2nπ 3
´sont des ´el´ements deE.
Q21 Montrez que la famille (x, y, z) est libre.
Q22 Que pouvez-vous en d´eduire concernant la dimension deE?
◮Soitpun ´el´ement quelconque de E; nous nous proposons de montrer qu’il existe trois r´eels α, β et γ tels quep=αx+βy+γz; autrement dit : pour toutn∈N, la condition
C(n) : pn =αxn+βyn+γzn
est v´erifi´ee.
Q23 R´esolvez le syst`eme obtenu en ´ecrivant les conditions C(0), C(1) et C(2). Vous expliciterez α, β et γ en fonction dep0,p1 et p2.
Q24 Montrez que les r´eelsα,β etγ que vous venez de d´eterminer v´erifient la conditionC(n) pour toutn∈N.
Q25 Que pouvez-vous dire maintenant de la famille (x, y, z) ? Quelle est la dimension deE?
Q26 Soitpun ´el´ement quelconque de E; montrez quepconverge vers une limiteλ(p), que vous expliciterez en fonction dep0,p1 et p2.
◮Soit (zn)n∈N une suite de complexes v´erifiant 4zn+3= 2zn+2+zn+1+zn quel que soitn∈N. Notons Mn
l’image dezn dans le plan complexe.
Q27 Par quelle construction simple Mn+3 se d´eduit-il de Mn+2, Mn+1 et Mn?
Q28 Montrez que, lorsquentend vers l’infini, Mn tend vers un point Ω, dont vous pr´eciserez l’affixeωen fonction dez0,z1et z2. Par quelle construction simple Ω se d´eduit-il de M0, M1 et M2?
Enonc´´ e inspir´e par une question d’´ecrit du concours ESTP 1995.
[Contr^ole 1995/10] Compos´e le 7 mars 2008
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