Exercice 3 (d’apr` es HEC 2000, voie scientifique, Maths II)

Sup PCSI2 — Contrˆole 2000/03

Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.

Exercice 1

◮Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, preuve(s) `a l’appui ! Q1 Siunⁿg^→∞

1

n, alors sin(un) + tan(un)ⁿg^→∞

2 n.

Q2 Si la suite (un) diverge vers +∞, alors la suite (tanun) diverge ´egalement.

Q3 Si la suite (tanun) diverge vers +∞, alors la suite (un) diverge ´egalement.

Q4 Si la suite (un) diverge vers +∞, alorsun>n`a partir d’un certain rang.

Q5 Si la suite (arctanun) converge, alors la suite (un) converge ´egalement.

Q6 Si la suite (sinun) converge, alors la suite (cosun) converge ´egalement.

Q7 Si la suite (sin²un) diverge, alors la suite (cos²un) diverge ´egalement.

Q8 Siun=o(vn), alors arctanun=o(arctanvn).

Exercice 2

◮Les questions de cet exercice sont ind´ependantes les unes des autres.

Q1 Calculez J = Z π/2

0

sin⁴⁷(t) cos³(t)dt. Le r´esultat sera pr´esent´e sous forme d’une fraction irr´eductible.

Q2 R´esolvez l’´equation cos 4x+ cos 3x+ cos 2x+ cosx= 0 dans l’intervalle [0, π].

Q3 Soientn∈N,a∈Cet b∈C. Donnez une expression simple de Sn(a, b) = X

06k6n

a^k

(n−k)!×b^n−k k! . Q4 Donnez un ´equivalentsimple deun= X

06k6n

coskπ

n cos(k+ 1)π

n lorsquentend vers l’infini.

Q5 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral xn = cos³ 2πp

n²+ 123456!´ .

Q6 Proposez un script Maple pour calculer l’int´egraleJ de la question 1 et r´esoudre l’´equation de la question 2.

Tournez S.V.P.

Exercice 3 (d’apr` es HEC 2000, voie scientifique, Maths II)

◮Nous nous int´eressons `a la suite (un)n>1d´efinie par la donn´ee de son premier termeu1= 0 et la relation de r´ecurrenceun=n−1 + 2

n X

16k<n

uk pourn>1. Cette suite intervient dans l’analyse de l’algorithme de tri rapide (quicksort) de TonyHoare.

Q1 Calculez u2, u3 et u4. Vous donnerez les r´esultats sous forme de fractions irr´eductibles, et vous ferez apparaˆıtre les calculs sur votre copie.

Q2 Prouvez quenun−(n+ 1)un−1= 2n−2 pourn>3.

◮Notonsvn = un

n+ 1 pourn>1.

Q3 Pourn>3, exprimezvn−vn−1 en fonction den.

Q4 D´eterminez deux r´eelsαetβ tels que l’´egalit´e 2x−2 x(x+ 1) = α

x+ β

x+ 1 soit valable pour toutx∈R\ {−1,0}.

◮Notonshn= X

26k6n

1

k etzn= 1

n−ln³ n n−1

´pourn>2.

Q5 Pourn>2, ´etablissezvn= 2hn−2 + 4 n+ 1. Q6 Exprimezun en fonction dehn etn.

Q7 Prouvez l’´egalit´ehn= X

26k6n

zk+ lnn.

◮NotonsHn= X

16k6n

1

k etγ la constante d’Euler. Nous admettrons queHn= lnn+γ+ 1

2n+o³1 n

´ . Q8 Donnez un d´eveloppement asymptotique deun lorsquentend vers l’infini.

[Contr^ole 2000/03] Compos´e le 10 juin 2008