HX4 — Contrˆole 1994/04
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Exercice 1 : d’apr` es HEC 1989, Option G´ en´ erale, Maths 2
◮Une suite (pn)n∈Nde r´eels v´erifiepn+4= 1 4
¡pn+3+pn+2+pn+1+pn) pour toutn∈N. Nous lui associons les deux suites (mn)n∈Net (Mn)n∈Nd´efinies par les relations :
mn= min¡
pn+3, pn+2, pn+1, pn¢
et Mn = max¡
pn+3, pn+2, pn+1, pn¢ pour toutn∈N.
Q1 Prouvez que (mn)n∈Nest croissante et (Mn)n∈Nd´ecroissante.
Q2 ´Etablissezm06mn6pn6Mn6M0.
Q3 En d´eduire que les suites (mn)n∈Net (Mn)n∈Nconvergent, et que leurs limites respectivesmet M v´erifient m6M.
Q4 ´Etablissez la majorationpn+46 3Mn+mn
4 .
Q5 ´Etablissez la majorationpn+46 3Mn+m
4 .
Q6 ´Etablissez la majorationMn+46 3Mn+m
4 .
Q7 En d´eduire m=M.
Q8 Concluez, pour ce qui concerne la convergence et la limite de la suite de terme g´en´eralpn.
Exercice 2
Q1 Soit n>3. Prouvez que l’´equation ex =xn poss`ede, dans l’intervalle ]1, e[, une et une seule solution, que nous noterons d´esormaisun.
Q2 Prouvez que la suite (un)n>3converge.
Q3 D´eterminez la limiteℓ de la suite (un)n>3.
Q4 Donnez un ´equivalentsimple deun−ℓlorsquentend vers l’infini.
Tournez S.V.P.
1
Exercice 3 : d’apr` es EDHEC 1994, Option ´ Eco, Maths 2
◮Pourn∈N∗, notons Sn l’ensemble des permutations de [[1,n]]. Soientf ∈Sn et i,j deux naturels tels que 16i < j 6n. Nous dirons que f transpose la paire{i, j} lorsquef(i) =j et f(j) =i.
◮Notons sn le nombre d’´el´ements de Sn qui ne transposent aucune paire ; en particulier, s1 = 1. Par convention,s0= 1.
◮Notons⌊x⌋la partie enti`ere du r´eelx.
Q1 Simplifiezwn= Y
16k6n
(2k−1).
Q2 Pourn∈N, notons un =sn
n!. Calculezu0,u1,u2 etu3.
Q3 Soitn>2. Exprimez en fonction desn−2le nombre d’´el´ements deSnqui transposent exactement une paire.
Q4 Montrer qu’il existe des ´el´ements deSnqui transposent exactementkpaires, si et seulement si 06k6¥n 2
¦. Q5 Prouvez que le nombre d’´el´ements deSn qui transposent exactementkpaires est¡n
2k
¢wksn−2k. Q6 Exprimezsn en fonction des sj, 06j < n.
Q7 En d´eduire que, pour toutn∈N:un= 1−
⌊n/2⌋
X
k=1
un−2k
2kk! .
Q8 `A l’aide de cette relation, prouvez queu2p+1=u2p pour tout naturelp.
Q9 Notonsvp= 2pu2p pour toutp∈N. Exprimezvp en fonction des vj, 06j < p.
Q10 Calculezvp pourp∈[[0,4]], puis up pourp∈[[0,9]], et enfin sp pourp∈[[0,9]].
Q11 Pourp>1, ´etablissezu2p−u2p−2=(−1)p 2pp! .
Q12 En d´eduire que les suites (u4p)p∈Net (u4p+2)p∈Nsont adjacentes.
Q13 Prouvez que la suite (un)n∈N converge vers une limiteℓdont vous donnerez un encadrement simple.
Q14 Donnez une valeur approch´ee deℓ`a 10−2 pr`es.
Q15 Prouvez queℓ= exp¡
−12¢ .
[Contr^ole 1994/04] Compos´e le 7 mars 2008
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