Sup PCSI2 — Contrˆole 1999/10
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge.
Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 (CCP 1998 — PC — Maths 1, Probl` eme 1)
IOn noteE leR-e.v. des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients r´eels etI = 1 0
0 1
.
Q1 Soit M= x y
z t
un ´el´ement quelconque deE. ExprimezM2 en fonction deI,M, tr(M) et det(M).
ISoienta, bet ctrois r´eels ; on supposeb6= 0. On note A=
a −b b c
. On noteF l’ensemble des ´el´ements deE qui commutent avecA:F={M∈ E |AM =M A}.
Q2 Justifieztr`es rapidement l’affirmation suivante : pour toutn∈N,An appartient `aF.
Q3 Montrez que F est un s.e.v. deE.
Q4 Montrez que (I, A) est une base deF.
Q5 Soit n∈N. Justifieztr`es rapidement l’existence de deux r´eelsαn et βn tels queAn=αnI+βnA.
Q6 Explicitezα2 etβ2en fonction de a,bet c.
Q7 Que peut-on dire de Alorsqueα2= 0 ?
Q8 D´eterminez une relation de r´ecurrence entreαn,αn+1 et αn+2.
Q9 Donnez l’expression deαn en fonction denlorsquea= 3 etb=c=−2.
Q10 Donnez l’expression deαn en fonction denlorsquea= 3 etb=c= 1.
Q11 Montrez queF, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau commutatif.
Q12 D´eterminez, en fonction deα2 etβ2, deux r´eelsλ etµ tels que det(xI+yA) = (x+λy)2+µy2 pour tout couple de r´eels (x, y).
Q13 Donnez alors une condition n´ecessaire et suffisante portant surα2 etβ2pour que l’anneauF soit un corps.
Q14 Dans cette question, on suppose que l’anneauF est un corps. R´esolvez dansF l’´equationX2=−I; notez bien queX d´esigne ici unehhinconnueii, et non un certain polynˆome unitaire de degr´e 1 !
IOn noteul’endomorphisme deE d´efini paru(M) =AM.
Q15 Montrez queF est stable paru.
Q16 Montrez queuest un automorphisme deE si et seulement siA est inversible.
Q17 On supposeAinversible. Montrez queuinduit un automorphisme ˆudeF.
IOn noteB= (Ω1,1; Ω1,2; Ω2,1; Ω2,2) la base canonique deE; on rappelle que la matrice Ωi,j est d´efinie par (Ωi,j)`,k =δi,`δj,k quels que soient`et kappartenant `a [[1,2]].
Q18 Explicitez la matrice de ˆudans la baseB.
Tournez S.V.P.
Exercice 2
Q1 Rappelez la d´efinition d’un produit scalaire.
IOn identifie le polynˆomeP et la fonction polynˆome Pe qui lui est asscoi´ee, et que l’on notera doncP tout simplement.
IOn d´efinit une applicationϕdeRn[X]×Rn[X] dansRpar : ϕ(P, Q) =P(0)Q(0) +P0(0)Q0(0) +
Z 1
−1
P00(t)Q00(t)dt Q2 Prouvez queϕest un produit scalaire surRn[X].
Q3 Montrez que le s.e.v. P constitu´e des polynˆomes pairs, et le s.e.v. I constitu´e des polynˆomes impairs, sont suppl´ementaires orthogonaux.
IOn noteB= (1, X, . . . , Xn) la base canonique deRn[X], etAla matrice dansBdu produit scalaireϕ. Les lignes et les colonnes deA seront index´ees `a partir de 0 (et non `a partir de 1).
Q4 Combien Aa-t-elle de lignes ? Combien de colonnes ? Q5 Explicitez le terme g´en´eriqueAi,j deA.
Q6 Dans cette question uniquement, on supposen= 3. Explicitez la matriceA.
Q7 Prouvezrapidement queAest inversible.
IOn note H le s.e.v. constitu´e des polynˆomes qui sont orthogonaux au polynˆome 1, ets la r´eflexion autour deH.
Q8 Quelle est la dimension deH? Q9 Donnez une basetr`es simple deH.
Q10 Explicitez la matrice desdansB. Ici encore, vous indexerez les lignes et les colonnes `a partir de 0.
Q11 Quelle est la trace des?
[Contr^ole 1999/10] Compos´e le 19 mars 2005
