Sup PCSI2 — Contrˆole 2001/04
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 : quelques calculs !
◮Les questions de cet exercice sont totalement ind´ependantes. Elles doivent n´eanmoins ˆetre r´edig´ees sur une copie s´epar´ee (plusieurs, au besoin).
Q1 Soientf : x∈R7→x2(x−1)2001et F la primitive surRdef qui v´erifieF(1) = 2001. ExplicitezF(x).
Q2 NotonsSn = X
n6k62n
pn2+k. Donnez un ´equivalentsimple deSn lorsquentend vers l’infini.
Q3 R´esolvez dansRl’´equation 2 arccos(2x)−arcsin(x) = 2π.
Q4 Soientaetbdeux r´eels strictement positifs distincts. Montrez que les relationsx0=a+betxn+1=a+b−ab xn
d´efinissenteffectivement une suite (xn)n∈N de r´eels strictement positifs. Vous donnerez une expressiontr`es simple dexn.
Exercice 2 : les traditionnelles questions de bon sens sur les suites
. . .◮(un) et (vn) sont des suites de r´eels. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, preuve(s) `a l’appui !
Q1 Siunn→∞g vn, et si (un) est croissante, alors (vn) est croissante APCR.
Q2 Siun=o(vn), alorsun6vn APCR.
Q3 Siunn→∞g n, alorsun+un+1n→∞g 2n.
Q4 Siun+un+1n→∞g 2n, alorsunn→∞g n.
Q5 Siun−−−→n→∞ +∞, alors¥ ln(un)¦
g
n→∞ln¡
⌊un⌋¢ . Q6 Siun−−−→n→∞ +∞, alors¥
exp(un)¦ g
n→∞exp¡
⌊un⌋¢ .
Q7 Si la suite de terme g´en´eral arcsin(un) est strictement croissante, alors la suite de terme g´en´eral arccos(un) est strictement d´ecroissante.
Tournez S.V.P.
Exercice 3 : parties enti` eres et suites !
◮Soientaet b deux r´eels distincts. Pour fixer, les id´ees, nous supposeronsa < b. Pourn∈N, nous noterons un=⌊nb⌋ − ⌊na⌋.
Q1 Montrez que la suite (un)n∈Nest `a termes positifs ou nuls.
Q2 D´eterminez un naturel N (qui d´epend deaet b) tel queun>1 pour toutn>N.
Q3 Donnez un ´equivalentsimple deun lorsquentend vers l’infini.
Q4 En fait, le raisonnement tenu `a la question pr´ec´edente donne un r´esultat plus pr´ecis qu’un simple ´equivalent.
Qu’en pensez-vous ?
Q5 Montrez par un exemple que la suite (un) n’est pas n´ecessairement croissante.
Exercice 4 : la suite de terme g´ en´ eral
√nn◮Nous nous int´eressons `a la suite de terme g´en´eral un = √n
n, avec n > 1. Rappelons que la fonction x>07→ √n
xest la bijection r´eciproque de la fonctionx>07→xn. `A ce titre, elle est strictement croissante.
Q1 Comparez u2 etu3. Q2 Comparez u3 etu4.
◮Nous allons montrer que la suite (un)n>3 est strictement monotone. Nous noterons vn = (n+ 1)n et wn=nn+1.
Q3 Soit k∈[[0,n]]. Justifiez la majoration¡n k
¢6nk. Q4 En d´eduire la majoration (n+ 1)n 6(n+ 1)nn.
◮La majoration pr´ec´edente ne permet pas encore de conclure.
Q5 Pourn>3, prouvez l’in´egalit´e³n 2
´
nn−2+³n 3
´
nn−3< nn. Q6 En d´eduire le signe de vn−wn, pourn>3.
Q7 En d´eduire le sens de variation de la suite (un)n>3. Q8 Quels sont les indicesntels que un∈N?
Q9 Montrez que la suite de terme g´en´eralun= √n
nconverge. `A ce stade, que pouvez-vous dire de sa limite ℓ?
◮Supposonsℓ >1 et notonsh=ℓ−1.
Q10 Pourn>2, montrez l’in´egalit´e (1 +h)n>n(n−1)h2
2 .
Q11 Mettez en ´evidence une contradiction et concluez !
[Contr^ole 2001/04] Compos´e le 11 juin 2008
